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Hallo,
wie ihr sicher im Unterricht behandelt habt, kann man den radioaktiven Zerfall einer Anzahl Nukliden mit einer Exponentialfunktion (der Form \(N(t)=a\cdot e^{-\lambda\cdot t}\)) modellieren. Dabei gibt der Funktionswert die verbleibende Anzahl von Nukliden an und der das Argument die Zeit. Da bei \(t=0\) noch alle Nuklide vorhanden sind, muss a gleich der Anzahl der Nuklide sein deren Zerfall betrachtet wird: \(a=N_0\). Jetzt muss nach der Zeit \(T_{\frac{1}{2}}=1620a\) noch die Hälfte der Anfangsnuklide vorhanden sein: \(\frac{1}{2}N_0=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot T_{\frac{1}{2}}} \Rightarrow \lambda=\frac{\ln(2)}{T_{\frac{1}{2}}}\). Diese Konstante nennt man Zerfallskonstante. Wenn du das jetzt wieder in deine Zerfallsgleichung einsetzt erhältst du \(N(t)=N_0\cdot e^{-\frac{\ln(2)\cdot t}{T_{\frac{1}{2}}}}\) oder \(N(t)=N_0\cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}\). Du hast in der Aufgabenstellung nichts von der Anzahl der Nuklide erwähnt, die muss aber (vllt. in indirekter Form) angegeben sein, um die Funktion aufzustellen.
LG
wie ihr sicher im Unterricht behandelt habt, kann man den radioaktiven Zerfall einer Anzahl Nukliden mit einer Exponentialfunktion (der Form \(N(t)=a\cdot e^{-\lambda\cdot t}\)) modellieren. Dabei gibt der Funktionswert die verbleibende Anzahl von Nukliden an und der das Argument die Zeit. Da bei \(t=0\) noch alle Nuklide vorhanden sind, muss a gleich der Anzahl der Nuklide sein deren Zerfall betrachtet wird: \(a=N_0\). Jetzt muss nach der Zeit \(T_{\frac{1}{2}}=1620a\) noch die Hälfte der Anfangsnuklide vorhanden sein: \(\frac{1}{2}N_0=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot T_{\frac{1}{2}}} \Rightarrow \lambda=\frac{\ln(2)}{T_{\frac{1}{2}}}\). Diese Konstante nennt man Zerfallskonstante. Wenn du das jetzt wieder in deine Zerfallsgleichung einsetzt erhältst du \(N(t)=N_0\cdot e^{-\frac{\ln(2)\cdot t}{T_{\frac{1}{2}}}}\) oder \(N(t)=N_0\cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}\). Du hast in der Aufgabenstellung nichts von der Anzahl der Nuklide erwähnt, die muss aber (vllt. in indirekter Form) angegeben sein, um die Funktion aufzustellen.
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