Äquivalenz von Aussagen beweisen / Direkte Summe

Erste Frage Aufrufe: 466     Aktiv: 27.04.2022 um 09:15
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Hallo!

Kann jemand bitte kurz einen Blick drauf werfen und sagen, ob dies so stimmt? :-)

Hier ist also zu zeigen, dass man aus der Aussage a.)  dann die Aussage b.) folgern kann und umgekehrt.


a.)  ⇒ b.)

Sei v ∈ V und sei y, y'  ∈ M und z, z'  ∈ N
Es gibt zwei Darstellungen von v:  

v = y + z = y' + z'

y + z = y' + z'  ⇔ y - y' = z' - z = 0

Hier gilt die Gleichheit d.h. beide Elemente, also y - y' ∈ M und z' - z ∈ N sind gleich. Wenn dies so ist, dann sind diese auch im Schnitt enthalten, M ∩ N. Nach Voraussetzung der direkten Summe, ist im Schnitt der Nullvektor enthalten, daraus folgt:

y = y'  ∧   z' = z

Somit ist im Schnitt tatsächlich der Nullvektor enthalten.


b.)  ⇒ a.)

Sei x ∈ M ∩ N und seien y ∈ M und z ∈ N mit y + z = 0
z.Z. M ∩ N = {0}

Da y + z = 0 gilt also folgendes:

⇒ y  = -z
⇒ y = 0
⇒ z = 0

Die Koordinatendarstellung von x ist sowohl y als auch z, da die Koordinatendarstellung (bzgl. der Standardbasis) eindeutig ist, daher folgt, dass y = z, sofort y = z = 0.  Somit muss der Schnitt M ∩ N gleich 0 sein.

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1 Antwort
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Die Richtung \(a)\Rightarrow b)\) ist soweit richtig, ich würde aber nicht direkt \(z'-z=0\) schreiben, da du ja erst in deinem Text erklärst warum das folgt. Der letzte Satz passt auch nicht als Fazit, weil das nicht zu zeigen war. Die Richtung \(b)\Rightarrow a)\) stimmt so nicht, du musst zeigen, dass \(x=0\) gilt. Dein Argument mit der Koordinatendarstellung ist für mich unklar. Ich würde hier annehmen, dass ein \(v\in M\cap N\) existiert mit \(v\not =0\) und hieraus folgt sofort ein Widerspruch wenn du \(v\) darstellen willst (warum?).
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Student, Punkte: 10.37K

 
Vielen Dank für das Feedback. Dann versuche ich es nochmal :-)



Bei a.) ⇒ b.):

Den letzten Satz durch "v lässt sich auf eindeutige Weise als Summe von M und N schreiben."


Bei b.) ⇒ a.):

Dies ist ein Widerspruch, da ja M und N Teilräume sind und somit muss der Nullvektor enthalten sein.
   ─   bitcoin33 26.04.2022 um 10:24
Das ist nicht der Widerspruch, wir wollen zeigen, dass im Schnitt nur der Nullvektor liegt und nehmen dazu an, dass es einen weiteren Vektor im Schnitt gibt, wenn wir den jetzt aber darstellen wollen ist er nicht mehr eindeutig, weißt du warum?   ─   mathejean 26.04.2022 um 12:37
@mathejean

Ich habe zwar im Internet gerade recherchiert, aber ich verstehe nicht ganz, warum es dann nicht mehr eindeutig ist, weil ja dann sonst trivialerweise v = v + 0 = 0 + v gelten würde. Aber ich weiß nicht genau was das bedeutet... Kannst Du mich vielleicht aufklären, bitte? :-)



@cauchy

Weil, y + z = y' + z' gilt genau dann, wenn y - y' = z' - z = 0 ist.
Da im Schnitt kein anderer Vektor (außer der Nullvektor) enthalten ist, können wir daraus folgern, dass somit y = y' ∧ z' = z.

  ─   bitcoin33 26.04.2022 um 14:37
Ganz genau, es ist \(v=v+0=0+v\), wobei im ersten Fall wir annehmen \(v\in M\) und \(0\in N\) und im zweiten andersrum, also existieren \(x,y\in M\) und \(z,t\in N\) mit \(x\not =y\) und \(z\not =t\), so dass \(v=x+y\) aber auch \(v=z+t\)   ─   mathejean 26.04.2022 um 18:37
@cauchy

Ich versuche die erste Richtung, also a.) ⇒ b.), mal anders darzustellen:

Sei y ∈ M und z ∈ N mit y + z = 0 ∈ M + N.
Dies ist eine Darstellung von 0 ∈ M + N.

Andererseits ist 0 = 0 + 0 ∈ M + N auch eine Darstellung von 0.

Da Darstellungen nach Voraussetzung b.) eindeutig sind, folgt y = 0 und z = 0.


@mathejean

Also wenn ich es richtig verstanden habe, dann kann ein Schnitt deshalb nicht ungleich 0 sein, weil die
Darstellung von v als Summe eines Vektors aus M und eines Vektors aus
N nicht eindeutig ist, oder?   ─   bitcoin33 26.04.2022 um 19:03
Lass uns ganz kleine Schritte und einfache Sätze machen. Es ist \(V=M+N\) und \(M\cap N=0\), für jedes \(v \in V\) soll es eindeutige \(x\in M\) und \(y\in N\) geben mit \(v=x+y\).
Wir fixieren jetzt ein beliebiges \(v\in V\) und betrachten \(x,x'\in M\) und \(y,y'\in N\) mit \(v=x+y=x'+y'\). Wir müssen zeigen, dass \(x=x'\) und \(y=y'\).
Du hast bereits herausgefunden, dass jetzt \(x-x'=y'-y\) gilt. Wenn nun \(x-x'\in M\cap N\) ist, können wir \(x=x'\) folgern und \(y=y'\) analog. Wir brauchen also ein Argument, dass \(x-x'\in M\cap N\) ist und das selbe auch für \(y'-y\)   ─   mathejean 26.04.2022 um 21:43
Hm, ich weiß leider wirklich nicht mehr weiter, finde leider auch nix im Internet dazu.... :/   ─   bitcoin33 26.04.2022 um 22:25
Man kann es eigentlich aus der Definition des Schnittes ableiten, denn hier gilt ja:

\(A\cap B = \{x | x\in A \wedge x\in B\}\)

Wir wissen, dass x - x' = y' = y ist, da beide gleich sind, sind die Elemente jeweils in M und N enthalten, daher können wir daraus folgern, dass x - x' ∈ M ∩ N, als auch y' - y ∈ M ∩ N. Nach Voraussetzung ist M ∩ N = {0}, daraus folgt 0 = x - x' = y' - y. Also gilt, dass x = x' ist und y = y'.


  ─   bitcoin33 27.04.2022 um 09:07
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Ja, jetzt hast du es im Prinzip, sehr gut! das fehlende Wort ist noch Untervektorraum, weil \(x,x'\in M\) ist nämlich auch \(x-x'\in M\) usw   ─   mathejean 27.04.2022 um 09:09
Ah stimmt, da war ich wohl etwas "unsauber" unterwegs. Vielen vielen vielen Dank für die Hilfe und vor allem für die Geduld! :-)   ─   bitcoin33 27.04.2022 um 09:13
Ja, ich nehme an du bist im ersten Semester, da sollte man auch ein bisschen die offensichtlichen Sachen ausargumentieren, aber keine Angst, das ist im nächsten Semester vorbei   ─   mathejean 27.04.2022 um 09:15

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