Konvergenzverhalten bei Reihen

Aufrufe: 43     Aktiv: 10.06.2021 um 20:34

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Hallo zusammen,

Ich habe eine Frage nämlich ich berechne gerade die Teleskopsumme von


Soweit bin ich gekommen:

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nur habe ich jetzt das Problem, wenn ich \( a_k :=  \frac {k-1}{k!} \) setze, dass ich dann \( \sum a_k - a_{k+1} \)

 und nicht wie bei der Teleskopsumme gefordert: \( \sum a_{k+1} - a_k \)

Jetzt habe ich in die Lösungen gespickelt und habe gesehen, dass man vor die Summe ein minus schreiben kann, um damit das Problem zu beseitigen.
Also dann eben \( - \sum_{k=3}^n  a_{k+1} - a_k \) habe, um dann schließlich mit bekanntem zu arbeiten.

Warum kann ich mit dem Vorzeichen das Erreichen?
Ich freue mich über ein Erklärung
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2 Antworten
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Hallo

Ja also du warst ja wirklich schon fast am Ziel und das mit dem Minus ist eigentlich wirklich einfach, schauen wir es uns mal für den Fall an wenn n=3 ist. Da hat man ja dann in der Summe so was wie \((a_{3}-a_{3+1})\) aber das ist ja gleich wie wenn ich einfach ein Minus ausklammern würde, also \((a_{3}-a_{3+1})=-(-a_{3}+a_{3+1})\) ich hoffe das ist dir klar, so und nun vertauschts du einfach noch die Summanden, das darfst du da ja Addition in hier kommutativ ist, also gilt \((a_{3}-a_{3+1})=-(-a_{3}+a_{3+1})=-(a_{3+1}-a_3)\). So und da es ja hier eine Summe ist kannst du das gleiche Prinzip anwenden einfach auf viel mehr Summanden, und was du dann erhälst ist genau \(-\sum_{k=3}^n a_{k+1}-a_k\)
Ist das verständlich
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ahh, ok,Danke. Die ganzen Regeln kannte ich nur konnte ich mir des nicht vorstellen bzw. kam nicht drauf das ich das minus ausklammern kann um die Vertauschung hinzubekommen. Danke für die Illustration.   ─   carlos 10.06.2021 um 20:32

Kein Ding ich helfe gerne!   ─   karate 10.06.2021 um 20:34

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Moin,
du kannst bei beiden Termen in der Summe (\(a_{k+1} \text{ und } a_k\)) ein - ausklammern, und da Vorzeichen von Variablen unabhängig sind kannst du das Minus vor die Summe schreiben. Tatsächlich ist es aber gar nicht nötig, und in diesem Fall vielleicht sogar einfacher das Vorzeichen zu behalten und \(a_k-a_{k+1}\) in der Summe stehen zu lassen. Die übrig bleibenden Terme sind dann \(a_3 - a_{n+1}\), was sich auch ergibt, wenn man das Minus ausklammert, es ist nur ein weiterer, unnötiger Schritt.
LG
Fix
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