Rieman Integral von x -> x^2 von a nach b, 0<=a<b

Erste Frage Aufrufe: 45     Aktiv: 08.06.2021 um 11:19

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Ich habe schon alle Möglichkeiten versucht um das Rieman-Integral zu berechnen, jedoch komme ich immer nur auf 1/3(b-a)^3.
Ich wäre über jede Hilfe dankbar.
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Student, Punkte: 10

 

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Da hast Du vermutlich falsch eingesetzt:
\(\int_a^b x^2\, dx = \frac13 x^3 \mid_a^b = \frac13 b^3-\frac13 a^3\).
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Naja wir sollen das über Treppenfunktionen herleiten und da komme ich eben nicht auf das richtige.   ─   incantatem 07.06.2021 um 21:58

achso, sag das doch ;-)
Das ist ne aufwendige Rechnung. Ich geb Dir hier ein paar Zwischenschritte:
h:=(b-a)/n
\(h\sum\limits_{i=0}^{n-1}(a+i\cdot h)^2 \longrightarrow (b-a)\,a^2+(b-a)^2a +\frac13(b^3-a^3) = \frac13 (b^3-a^3)\). Hierbei wurde benutzt:
\(\sum\limits_{i=0}^{n-1}i = \frac12(n-1)n\) und \(\sum\limits_{i=0}^{n-1} i^2 = \frac16(n-1)n(2n-1)\) sowie die binomische Formel und Grenzwertsätze.
Wenn Du damit Deinen Fehler nicht findest, dann bleibt nur, dass Du Deine Lösung hier hochlädst, dann schauen wir gemeinsam was schief gelaufen ist.
  ─   mikn 07.06.2021 um 22:52

Ich schicke dir mal, eine meiner Ideen. Bei den meisten anderen Ideen bin ich aber auf das gleiche Ergebnis, mit einem anderen Lösungsweg gekommen. Ich würde mich freuen, wenn du mal drüber schauen könntest.
Ich weiß leider nicht, wie man hgier was hoch lädt, ich hoffe das geht so: ^^
https://drive.google.com/file/d/1Vh3jvuhaj5mTseEtzF61HkBACaW4wNpm/view?usp=sharing
  ─   incantatem 07.06.2021 um 23:52

Ja, Bilder hochladen geht aktuell mal wieder nicht ;-(
Deine x-Werte liegen gar nicht in [a,b], sondern sind (in der ersten Variante) h, 2h, ..., b-a. D.h. diese führen auf \(\int\limits_0^{b-a}x^2\,dx\) und das ist ja auch in der Tat \(\frac13(b-a)^3\). Die x-Werte müssen verschoben werden, "a+" dazu, sie werden dann a+i*h (siehe meinen Ansatz oben) dann kommst Du auf das richtige Ergebnis.
  ─   mikn 08.06.2021 um 10:57

Ahhh okay, jetzt habe ich verstanden, warum es immer falsch geworden ist. Vielen Dank!   ─   incantatem 08.06.2021 um 11:19

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