K-Vektorraum beweisen

Aufrufe: 134     Aktiv: 04.08.2021 um 20:29

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Hallo, ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme. Ich muss zeigen, ob die Mengen, die in der Aufgabe aufgezählt sind, K-Vektorräume sind. Das muss ich ja bezüglich der Addition und Skalarmultiplikation machen. Sprich ich muss doch bei der Addition zeigen:
Assoziatitvität, Neutralelement, Inverses und Kommutatvität zeigen und der Skalarmultipkartion muss ich ja die 3 Distributivgesetze zeigen und das Einselement, oder? Weil ich bin einige Beispiele durchgegangen und bei vielen hat man auch gezeigt, ob der Nullvektor drin ist und das verstehe ich nicht. Muss man das immer machen? Weil ich dachte, man müsse nur die Eigenschaften von oben zeigen.

Das Beispiel ist bzw. die Menge ist:
U:={x element Q^(1×3); x1=x2=2x3 für K=Q}.
Des Weiteren steht in der Lösung auch:
Für a element Q x,y element U gilt: ax1+y1=a2x3+2y3=2(ax3+y3). Das wäre doch eins der Distributivgesetze oder?
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Es bietet sich hier an die Untervektorraumaxiome zu überprüfen, da die Elemente der Mengen ja alle aus einem Vektorraum kommen. Denn es gilt für einen \(K\)-Vektorraum \(V\) und \(U\subseteq V\), \(U\) ist genau dann ein Untervektorraum von \(V\), wenn \(U\) ein \(K\)-Vektorraum ist.
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Student, Punkte: 5.05K

 

Ah okay, deshalb dann wohl das mit dem Nullvektorraum.
Also dann muss ich ja "nur" zwei Eigenschaften zeigen,oder? Sprich:
1. O ∈ U
2. λv+w ∈ U für alle v,w ∈ U und λ∈K.

Kann ich das denn immer so machen, oder muss ich auf etwas achten, dass ich weiß, dass man auf Untervektorraum prüfen kann?
  ─   anonym390d4 04.08.2021 um 20:28

Genau!   ─   mathejean 04.08.2021 um 20:29

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