Hallo,

ich sitze hier vor einer Aufgabe, in der man Funktionale ableiten soll.
Als Definition der Ableitung haben wir Folgendes bekommen:

"Die Ableitung eines Funktionals nach einer Funktion, \(\frac{\delta F[f]}{\delta f(x)}\), ist definiert als:
\(\int\frac{\delta F[f]}{\delta f(x)}\phi(x)dx=\underset{\varepsilon\rightarrow 0}{lim}\frac{F[f+\varepsilon \phi]-F[f]}{\varepsilon}\) mit einer beliebigen Testfunktion \(\phi \in M\) und \(F:M\rightarrow \mathbb{C}\).

Ich habe das noch nicht so ganz durchschaut, deshalb würde ich einfach mal eine Aufgabe vorrechnen und vielleicht kann mir dann jemand sagen, wo meine Fehler sind.

Bestimmen Sie folgendes Funktional:
\(f\mapsto \int_{\mathbb{R}^d}f(x)(\nabla f(x))dx\)

Mein Ansatz: 
\(\frac{\delta F[f]}{\delta f(x)} = \int_{\mathbb{R}^d}\frac{\delta F[f]}{\delta f(x)}\phi(x)dx=\underset{\varepsilon\rightarrow 0}{lim}\frac{1}{\varepsilon}(F[f+\varepsilon\phi]-F[f]\))
(woher genau weiß ich überhaupt, nach was ich \(F\) ableiten muss?)

dann weiter : \(...=\underset{\varepsilon\rightarrow 0}{lim}\frac{1}{\varepsilon}(\int_{\mathbb{R}^d}f(x)(\nabla f(x)+\varepsilon\phi)-f(x)(\nabla f(x))dx\))
(Wo muss ich das \(\varepsilon\phi\) dazuaddieren (das war intuitiv, wie ich es jetzt gemacht habe)?)

weiter: \(...=\underset{\varepsilon\rightarrow 0}{lim}\frac{1}{\varepsilon}(\int_{\mathbb{R}^d}f(x)(\nabla f(x)+\varepsilon\phi-\nabla f(x))dx)=\underset{\varepsilon\rightarrow 0}{lim}\int_{\mathbb{R}^d}f(x)\phi dx=\int_{\mathbb{R}^d}f(x)\phi dx\Rightarrow \frac{\delta F[f]}{\delta f(x)}=f(x)\)


Das wäre jetzt mein Rechenweg. Kann mir jemand die Fragen beantworten bzw. meinen Rechenweg kontrollieren? Das wäre super!

Vielen Dank im Voraus un LG

PS: Falls mir jemand die Funktionalableitung etwas veranschaulichen kann, sprich: Was genau macht man da eigentlich?, wäre ich nicht abgeneigt. Wir haben in der Vorlesung nur besprochen, was ein Funktional ist, mehr aber auch nicht.