Funktion mit Apostroph, Exponent und Symbol?

Aufrufe: 128     Aktiv: 06.08.2021 um 08:29

1
Ich habe den Artikel über Analysis gelsen und bin auf diese Arten von Funktionen gestoßen.

1. Wie wird die Funktion mit dem Apostroph berechnet?


2. Wie wird die Funktion mit dem Symbol berechnet?


3. Wie wird die Funktion mit dem Apostroph berechnet?
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 24

 

Schau Mal auf YouTube nach Ableitung, Differenzenquotient und Differentialquotient. Weil die Frage ist schon sehr allgemein mit einem riesigen Rattenschwanz hinten dran.   ─   h1tm4n 04.08.2021 um 21:54
Kommentar schreiben
1 Antwort
4

Hallo,

das erste Bild beschreibt den Differentialquotienten. Man kennt von linearen Funktionen das Steigungsdreieck

$$ m = \frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1} $$

Das ist ein Differenzenquotient (Quotient aus zwei Differenzen). Dieser soll die Steigung einer linearen Funktion beschreiben. Bei nicht linearen Funktionen ist es nicht mehr so leicht eine Steigung zu bestimmen, weil wir bei anderen Funktionen keine einheitliche Steigung haben. Deshalb lässt man $x_2$ gegen $x_1$ wandern um so die Steigung in einem Punkt zu erhalten. Ein Differenzenquotient mit so einer Grenzwertbetrachtung nennt man dann Differentialquotient. 
Guck dir dazu am Besten nochmal ein paar Bilder im Internet an. Stichwort: "Von Sekanten zur Tangentensteigung". 

Wenn wir also für eine Funktion den Differentialquotienten bestimmen, erhalten wir die Funktion $f'(x_0)$. Diese beschreibt die Steigung der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$. 
Wir können den Differentialquotienten aber nicht einfach bestimmen, weil wir durch Null teilen würden. Man muss zuerst Umformungen durchführen, damit man die Grenzwertbetrachtung durchführen kann
Beispiel:
Betrachte $f(x) = x^2$
$$ \begin{array}{ccc} \lim\limits_{x \to x_0} \frac {f(x)- f(x_0)} {x-x_0} & = & \lim\limits_{x \to x_0} \frac {x^2 - x_0^2} {x-x_0} \\ & = &  \lim\limits_{x \to x_0} \frac {(x-x_0)(x+x_0)} {x-x_0} \\ & = & \lim\limits_{x \to x_0} (x+x_0) \\ & = & x_0 + x_0 \\ & = & 2x_0 \end{array} $$

Daraus leiten sich dann allgemeine Berechnungsregeln ab. Guck dir dafür mal "Ableitungsregeln" an. 

Das zweite Bild beschreibt den Laplace Operator für $u(x)$. Funktionen bei denen dieser Null ist, nennt man Potentialfunktionen. Das ist aber schon wesentlich weiter im Thema als dein erstes Bild.

Dein drittes Bild beschreibt eine sogenannte Differentialgleichung. Zum Lösen solcher Gleichungen gibt es viele Ansätze. Du hast eine gewöhnliche homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung. Diese lässt sich mit dem Exponentialansatz lösen. Ist aber auch wesentlich weiter im Stoff als dein erstes Bild. 

Grüße Christian

Diese Antwort melden
geantwortet

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 28.54K

 

1
Was genau ist die Differenz? Ich danke Ihnen auch für die tolle Antwort! .)   ─   komewk 06.08.2021 um 00:52

Eine Differenz ist einfach eine "MInus"-Rechnung. Also beispielsweise ist die Differenz von $5$ und $2$
$$ 5-2=3 $$
Beim DIfferenzenquotienten haben wir im Zähler die Differenz $y_2-y_1$ bzw $f(x)-f(x_0)$ und im Nenner dann $x_2-x_1$ bzw. $x -x_0$.

Sehr gerne :)
  ─   christian_strack 06.08.2021 um 08:29

Kommentar schreiben