Hallo,
kann man die Summe nicht einfach durch \(1\) abschätzen? Du schätzt jeden Summanden gegen den größten Summanden ab, nennen wir den mal einfach \(\frac{1}{n^*}\). In jedem Schritt kommt ein neuer Summand dazu und dein \(n^*\) wird um \(1\) größer, richtig? Das heißt im "nullten" Schritt hast du:
$$0 \cdot 1$$
im eigentlich ersten Schritt
$$1 \cdot \frac{1}{2},$$
im zweiten Schritt
$$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\leq\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=2\cdot\frac{1}{3}$$
und im \(n-1\)-ten Schritt:
$$\frac{1}{n}+\dots+\frac{1}{2n-2}\leq\frac{1}{n}+\dots+\frac{1}{n}=(n-1)\cdot\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}.$$
Somit hast du eine konvergente Majorante gefunden, die gegen \(1\) konvergiert! :)
Noch mal den \(n\)-ten Schritt ergänzt:
$$\frac{1}{n+1}+\dots+\frac{1}{2n}\leq\frac{1}{n+1}+\dots+\frac{1}{n+1}=n\cdot\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}.$$
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Die komische Summe, die einen Startwert hat von k=n+1 und dann bis 2 n läuft.
Das bekomme ich nicht auf Deine Erklärung abgebildet.
─ adrian142 24.11.2019 um 11:15
Und wo ist der große Unterschied, wenn ich die 0 jetzt drin habe oder draußen lasse? ─ adrian142 24.11.2019 um 11:22
Da ist kein großer Unterschied bzgl. der Konvergenz. Unter Umständen machen Aussagen keinen Sinn mehr, wenn man die \(0\) noch hinzufügt. ─ endlich verständlich 24.11.2019 um 11:24
Und mit dem Abschätzen habe ich auch so meine Probleme. ─ adrian142 24.11.2019 um 11:30
Wichtig ist, dass du jeden Summanden durch den größten Summanden abschätzt, die Summe aber trotzdem in jedem Schritt kleiner ist als \(1\) und deine Folge \(a_n\) somit durch \(1\) beschränkt wird.
@stehgold Der Grenzwert ist \(\ln(2)\), also echt kleiner als \(1\)! :) ─ endlich verständlich 24.11.2019 um 11:49