Gruppenisomorphismus - Anzahl der Elemente derselben Ordnung

Erste Frage Aufrufe: 303     Aktiv: 03.02.2023 um 08:11

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Hallo alle zusammen,

meine Frage ist folgende:
Sind zwei endliche Gruppen, deren Anzahl der Elemente mit derselben Ordnung gleich ist (d.h. je n1 Elemente der Ordnung k1, n2 Elemente der Ordnung k2 usw.) eigentlich isomorph? Ich vermute ja, aber kann es nicht beweisen. Mein Dozenz meint nein, kann aber kein Gegenbeispiel nennen. 

Kann jemand erklären? Vielen Dank im Voraus.

Beste Grüße;
Mati
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1 Antwort
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Hallo die Aussage stimmt aufjedenfall für abelian Gruppen, es folgt aus Hauptsatz über endliche abelian Gruppen. Allgemein stimmt es aber nicht, z.B. Heisenberggruppe \(H_3\) hat \(9\) Elementen mit \(8\) Elemnten Ordnung 3, aber es nicht abelian, also nicht isomorph zu \(C_3^3\)
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Hier steht was zu der heisenberggruppe: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Heisenberg_group ich meine diskrete version modulo odd prime   ─   mathejean 02.02.2023 um 16:52

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