Betragsungleichung Fallunterscheidung & Lösungsintervall bilden

Aufrufe: 163     Aktiv: vor 5 Stunden, 35 Minuten

0
Hi,

ich habe folgende Aufgabe:
\(\lvert x^2-9 \rvert \lt \lvert x-1 \rvert \)
Daraus folgt dann:
\[
y_2=\lvert x^2-9 \rvert = \left\{
\begin{array}{ll}
  (x^2-9) & \text{wenn } x^2-9\ge 0 \to x \le -3 ; x \ge 3 \\
  -(x^2-9) & \text{wenn } x^2-9\le 0 \to -3 \le x \le 3
\end{array}
\right\}
\]
\[
y_2=\lvert x-1 \rvert = \left\{
\begin{array}{ll}
  (x-1) & \text{wenn } x-1\ge 0 \to x \ge -1 \\
  -(x-1) & \text{wenn } x-1\le 0 \to x \le 1
\end{array}
\right\}
\]

Somit folgen als Lösungen bei der Berechnung der Schnittpunkte:
1. Fall: \(x \le -3 \): \(- \frac{1+\sqrt{41}}{2}\)
2. Fall: \(-3 \le x \le 1\): \(\frac{1-\sqrt{33}}{2}\)
3. Fall: \(1 \le x \le 3\): \(\frac{-1+\sqrt{33}}{2}\)
4. Fall: \(x \le 3\): \(\frac{1+\sqrt{33}}{2}\)

Somit stellen sich nun zwei Fragen:
1. Wie kann ich effizient die beiden quadratischen Ungleichungen \(x^2-9 \ge 0\) und \(x^2-9 \le 0\) lösen? (ohne dabei in Wolfram Alpha zu schauen ^^)
2. Wie bilde ich aus meinen 4 Ergebnissen das Lösungsintervall.

EDIT vom 10.08.2022 um 00:24:

EDIT: Frage 2, 1. Fall:
Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 40

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Zu 1.: Du würdest also erstmal $x^2-9\ge 0$ lösen, und danach auf dem analogen Weg $x^2-9\le 0$? Das Stichwort heißt hier Faktorisieren (und spoiler: 3. bin. Formel).
Zu 2.: Deine Ergebnisse zu den vier Fällen sind keine Lösungen, das sind irgendwelche Zahlen (keine Ahnung, welche). Es sind Ungleichungen zu lösen, jeder der vier Fälle gibt eine Lösungsmenge (in diesem Fall: Intervall). Die Gesamtlösungsmenge ist die Vereinigung der vier Teillösungsmenge.
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 26.7K

 

Zu 1.: Also am Ende: \[x^2-9\ge 0 \Leftrightarrow (x+3)(x-3) \ge 0 \Leftrightarrow x+3 \ge 0\ \vee\ x-3 = 0\ \vee\ x \ge -3\ \vee\ x\ge3 \] und dann das selbe wiederholen für den zweiten Term?

Zu 2.: Meine Idee bestand darin, die linke und rechte Seite als einzelne Gleichungen \(y_1\) und \(y_2\) aufzufassen und diese dann gleichsetzen um die Schnittpunkte zu berechnen. Da es sich um Betragsgleichungen handelt wäre dann wieder Fallunterscheidung nötig und das Ergebnis dieser ist oben aufgelistet (die Zahlen, welche als Ergebnis dieser heraus gekommen sind, aber der Bedingung der Fallunterscheidung widersprechen, habe ich bereits weggelassen).
Dementsprechend müssten sich aus den Schnittpunkten das Lösungsintervall der Betragsungleichung bilden lassen. Oder so war zumindest die Idee.
  ─   shadow 29.07.2022 um 17:49

Zu 1.: Am Ende geht was durcheinander, vermutlich Tippfehler. Sonst ja. Und für den zweiten Term: Vielleicht fällt Dir ein Zusammenhang zwischen dem ersten und zweiten Term auf?
Zu 2.: Ich verstehe nicht, was Du gerechnet hast. Rechne mit den Ungleichungen in jedem der vier Fälle. Es sind keine weiteren Fallunterscheidungen nötig (dafür haben wir ja die vier Fälle aufgestellt). Danach siehst Du vielleicht einen Zusammenhang mit Deinen Schnittpunktüberlegungen (eine Abkürzung sind die sicher nicht, eher im Gegenteil).
  ─   mikn 29.07.2022 um 18:04

Zu 1.: Leider kein Tippfehler. Nur ich sehe gerade auch nicht wo ich dort einen Fehler gemacht habe. Ich kann nur sagen, das Ergebnis ergibt halt wenig Sinn verglichen mit dem von Wolfram Alpha.
\( x^2-9 \ge 0 \Leftrightarrow (x+3)(x-3) \ge 0
\\
\Leftrightarrow x+3 \ge 0\ |-3 \Leftrightarrow x \ge -3
\\
\vee
\\
\Leftrightarrow x-3 \ge 0\ |+3 \Leftrightarrow x \ge +3 \)
Dabei erwarte ich hier ja eigentlich \( x \le -3 ; x \ge 3\). Und für den zweiten Term:
\(
x^2-9 \ge 0 \Leftrightarrow (x+3)(x-3) \le 0
\\
\Leftrightarrow x+3 \le 0\ |-3 \Leftrightarrow x \le -3
\\
\vee
\\
\Leftrightarrow x-3 \le 0\ |+3 \Leftrightarrow x \le +3
\)
Dabei erwarte ich ja hier eigentlich \(-3 \le x \le 3\).


Zu 2: Ok. (Wobei mein Gedanke immerhin weniger Fehleranfällig ist, da ich weiß, dass ich bei Betragsgleichungen Formeln wie die pq oder Mitternachtsformel einsetzen kann und ich wüsste gerade net, dass sowas auch bei Ungleichungen geht. Kp, mit Ungleichungen, und vor allem sobald da was anderes rein gemischt wird, wie Beträge, tue ich mich noch schwer.)
Für den ersten Fall \(x \le -3\):

\(
(x^2-9)\lt -(x-1) \\
\Leftrightarrow x^2-9 \lt -x+1\ |-(-x+1) \\
\Leftrightarrow x^2 + x - 10 \lt 0\ | + 10 \\
\Leftrightarrow x^2+x \lt 10\ |+\frac{1}{4} \\
\Leftrightarrow x^2+x+\frac{1}{4} \lt \frac{41}{4} \\
\Leftrightarrow (x+\frac{1}{2})^2 \lt \frac{41}{4} \\
\Leftrightarrow x+\frac{1}{2} \lt \frac{\sqrt{41}}{2}\ \vee\ x + \frac{1}{2}\lt -\frac{\sqrt{41}}{2} \\
\Leftrightarrow x \lt \frac{1}{2}(\sqrt{41}-1)\ \vee\ x \lt \frac{1}{2}(-1-\sqrt{41})
\)
Dementsprechend ist die Lösung des ersten Falls: \(x \lt \frac{1}{2}(-1-\sqrt{41})\).
  ─   shadow 30.07.2022 um 11:57

Zu 1.: Dass da 4 Aussagen am Ende mit $\lor$ verbunden sind, ist also kein Tippfehler?
Zur Neubearbeitung: Sorgfältig bitte. Ein Produkt ist $\ge 0 \iff$ beide Faktoren sind $\ge 0$ oder beide sind $\le 0$. Den zweiten Fall führt man auf den ersten zurück, aber wenn man das nicht erkennt, dann muss man halt nochmal neu rechnen, aber dann sorgfältig (analog zum ersten Fall).
Und das ist auch alles nur so nötig, weil Du die Umformung $x^2\ge 9\iff |x|\ge 3$ nicht kennst. Übe nochmal einfache Aufgaben mit Beträgen.
Zu 2. Wie gerade gesagt: $(x+\frac12)^2< \frac{41}4 \iff |x+\frac12| < \sqrt{\frac{41}4}$. Diese Ungleichung löst man am schnellsten durch Blick auf die Zahlengerade: $|x+\frac12|$ ist der Abstand von $x$ zu $-\frac12$ auf der Zahlengeraden - also Skizze und Intervall ablesen.
Noch'n LaTeX-Tipp: $\iff$ geht am schönsten und einfachsten als \iff.
  ─   mikn 30.07.2022 um 12:48

Zu 1.: Ja, dass ich 4 Aussagen mit \(\vee\) verbunden habe ist kein Tippfehler. Habe halt jede Klammer individuell behandelt um für jeden Term in der Klammer die Lösung zu berechnen.
Das bei 2 Fällen = 4 Aussagen am Ende.

Aber weiterkommen tue ich hier gerade nicht. Die Aussage mit dem Produkt und den Faktoren verstehe ich und ergibt Sinn. Aber ich verstehe nicht wo mir das bei der Lösung hilft. Aktuell sehe ich eher, dass ich mir wieder die 1. Zeile hinschreiben würde und am Ende wieder das selbe Ergebnis wie oben raus bekäme. -_-

Kennst du denn eine Website wo man Aufgaben zu Beträgen (am besten mit Lösungen) findet? Da mein Mathe-Buch von Papula endet an dem Punkt bereits damit und steigt danach in die einfachere Vektorrechnung ein.

Zu 2.: Interessant dass man dies am schnellsten durch eine Skizze löst. Da ist man meistens ja doch etwas ungenauer als wenn man es ausrechnet. Zumindest falls es auf Nachkommastellen ankommt.
Muss ich mir mal nachher anschauen.

Zum LaTeX Tipp: Ah, nice. Hatte hier immer \Leftrightarrow verwendet.
  ─   shadow 30.07.2022 um 13:51

Zu Deinem "Zu 1.: Also am Ende: ..." Keine Ahnung, was Du da gerechnet hast. Da sind Fehler drin (Tipp- und Rechenfehler).
Du kannst die Aussage mit Produkt/Faktoren nehmen und sauber(!, mit Klammern!) aussagenlogisch umsetzen. Das geht nicht in einer Zeile. Alternative: Die oben erwähnte Umformung, die Du nicht kennst.
Ich kenne spontan keine Webseiten zu dem Thema. In meinem Vorkurs-Buch ist das natürlich gut erklärt ;-). Eigentlich ist hier ja aber schon alles erklärt, Du musst es nur sorgfältig umsetzen (der Versuch, schneller voranzukommen, bewirkt eine vielfache Verlängerung der Bemühungen (siehe Deine andere Frage).
Zu 2. Man liest in der Skizze nur die Idee ab, und das geht auch nur bei solchen einfachen Ausdrücken.
  ─   mikn 30.07.2022 um 14:11

Sorry für die lange Zeit bis zur Antwort.
Zu 1.: \(L_1=(-\infty; 3] \cup [3;\infty) \)
Der zweite Fall ist dann: Ein Produkt ist \(\le 0 \iff \) ein Faktor ist \( \ge 0 \) und ein Faktor ist \(\le 0\). Daraus folgt: \( L_2 = [-3 ; 3] \)

Zu 2.: Für den ersten Fall \(x \le−3\):
\(
(x^2-9)\lt -(x-1) \\
\iff x^2-9 \lt -x+1\ |-(-x+1) \\
\iff x^2 + x - 10 \lt 0\ | + 10 \\
\iff x^2+x \lt 10\ |+\frac{1}{4} \\
\iff x^2+x+\frac{1}{4} \lt \frac{41}{4} \\
\iff (x+\frac{1}{2})^2 \lt \frac{41}{4} \\
\iff x+\frac{1}{2} \lt \frac{\sqrt{41}}{2}\ \vee\ x + \frac{1}{2}\lt -\frac{\sqrt{41}}{2} \\
\iff (x+\frac{1}{2})^2 \lt \frac{41}{4}\ \vee\ (x+\frac{1}{2})^2 \lt \frac{41}{4} \\
\iff |x+\frac{1}{2}| \lt \sqrt{\frac{41}{4}}
\)

Da x der Abstand zu \(-\frac{1}{2}\) bildet und kleiner als \( \sqrt{\frac{41}{4}}\) sein muss, sollte dieses von \((- \infty ; \sqrt{\frac{41}{4}}]\) gehen.
x muss kleiner sein als \( \sqrt{\frac{41}{4}}\). Zeitgleich haben wir einen Abstand von x zu \(-\frac{1}{2}\). Somit kann dieses nicht \(-\frac{1}{2}\) annehmen, aber alles auf der Zahlengerade davor und dahinter, was kleiner ist als \( \sqrt{\frac{41}{4}}\).
  ─   shadow 06.08.2022 um 22:39

Die Umformungen sind richtig. Man kann aber die vorletzte und vorvorletzte Zeile (die mit den $\lor$) überspringen, indem man direkt die Regel $a^2 Das mit dem Abstand hast Du nicht richtig umgesetzt. Ich hab Dir gesagt, was $|x+\frac12|$ anschaulich ist. Das muss dann $<\sqrt\frac{41}4$ sein. Setze die Worte (s.o.) richtig ein und mach dann eine Skizze (markieren auf der Zahlengeraden). Das hast Du vermutlich nicht gemacht, denn Dein Ergebnis (die Lösungsmenge) ist falsch. Lade mal die Skizze hoch.
Markiere als Vorübung mal alle Zahlen, deren Abstand von 1 kleiner als 0.5 ist - welche Menge ist das?
  ─   mikn 07.08.2022 um 01:24

Ok. Ich habe die Skizze mal hochgeladen und eine Skizze für die Vorübung hochgeladen (Mengen in der Skizze angegeben).   ─   shadow 10.08.2022 um 00:26

Das geht schon bei der Vorübung schief. Ist dir der Begriff Abstand nicht klar? Man kann auch Entfernung sagen. Welches Zeichengerät verwendet man da? Wie findet man auf einer Seekarte alle Orte, die z.B. in max. 100km Entfernung vom eigenen Standort liegen?
Und zu unserem $|x+\frac12|<\frac{41}4$: setze das erstmal richtig in Worte um: der Abstand von $x$ zu ... Ist kleiner als ... .lies die Kommentare dazu nochmal.
  ─   mikn 10.08.2022 um 02:32

Zur Vorübung: \((\frac{1}{2},1) \cup (1, 1\frac{1}{2})\).
Zu Fall 1: Der Abstand / Die Entfernung von \(x\) zu \(-\frac{1}{2}\) ist kleiner als \(\sqrt{\frac{41}{4}}\). Also liegt \(- \frac{1}{2}\) in der Mitte und x ist alles was eine geringe Distanz als \(\sqrt{\frac{41}{4}}\) hat --> \(x = (- \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{41}{4}} ; -\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{41}{4}})\)
  ─   shadow 10.08.2022 um 21:07

Ok, jetzt hast Du es verstanden. Allerdings ist es noch nicht ganz richtig.
Zur Vorübung: Warum Aufteilung in zwei Intervalle?
Zu Fall 1: Schreibweise bei Intervallen ist die untere Grenze links hinzuschreiben (daher Markieren auf der Zahlengeraden und dann "von... bis").
  ─   mikn 10.08.2022 um 21:37

Zur Vorübung: oh, jap. Das muss in einem Intervall stehen statt die Aufteilung.
Habe das ganze jetzt für alle Fälle nach dem Schema durchgerechnet:

1. Fall: \(x \le -3\): \( L_1=(-\frac{1+\sqrt{41}}{2};-\frac{1-\sqrt{41}}{2}) \)
2. Fall: \(-3 \le x \le 1 \): \(L_2=(-\infty ; \frac{1-\sqrt{33}}{2}) \cup (\frac{1+\sqrt{33}}{2};\infty)\)
3. Fall: \(1 \le x \le 3\):\( L_3=(-\infty ; -\frac{1+\sqrt{41}}{2}) \cup (-\frac{1-\sqrt{41}}{2};\infty) \)
4. Fall: \(x \ge 4 \): \( L_4=(\frac{1-\sqrt{33}}{2};\frac{1+\sqrt{33}}{2}) \)

Dann stellt sich jtzt noch die Frage wie ich bei diesen Lösungsmengen die Bedingung der Fälle für x beachte, da e.g. der 4. Fall ja von \(-2,3\) bis \(3,3\) geht,x aber größer als \(4\) sein soll.

Und anschließend das ganze noch in ein Lösungsintervall packen, welches dann wieder \(L = L_1 \cup L_2 \cup L_3 \cup L_4\) sein müsste.
  ─   shadow vor 2 Tagen, 8 Stunden

Die letzte Zeile (generell $L=L_1\cup...$) ist richtig, das ist die LösungsMENGE, muss aber KEIN Intervall sein.
Zu den Teillösungsmengen: Du weißt immer noch nicht, was Du eigentlich tust.
Muster: 1. Fall: $x\le -3$: Dann $|x^2-9|<|x-1| \iff...\iff x\in (-..., -...)$.
(Also: vorgegebene Ungleichung nochmal hinschreiben! Und noch kein $L_1$ festlegen).
Du hast also gezeigt: WENN $x\le -3$, DANN $|x^2-9|<|x-1| \iff x\in (-...,-...)$. Für welche $x$ ist damit nachgewiesen, dass die vorgeg. Ungl. WAHR ist? Diese bilden dann das $L_1$. Denk das genau durch (Aussagenlogik). Analog mit den anderen Fällen.
  ─   mikn vor 2 Tagen, 6 Stunden

Ok.
\(
\text{Fall 1: } x \le -3 \text{ : Ergebnis: } x\in(-\frac{1+\sqrt{41}}{2};-\frac{1-\sqrt{41}}{2}) \\
\text{Fall 2: } -3 \le x \le 1 \text{ : Ergebnis: } x\in(-\infty ; \frac{1-\sqrt{33}}{2}) \cup (\frac{1+\sqrt{33}}{2};\infty) \\
\text{Fall 3: } 1 \le x \le 3 \text{ : Ergebnis: } x\in(-\infty ; -\frac{1+\sqrt{41}}{2}) \cup (-\frac{1-\sqrt{41}}{2};\infty) \\
\text{Fall 4: } x \ge 4 \text{ : Ergebnis: } x\in(\frac{1-\sqrt{33}}{2};\frac{1+\sqrt{33}}{2}) \\
\)

Daraus folgt dann:
\(
L_1= ( -\frac{1+\sqrt{41}}{2} ; -3) \\
L_2= ( -3 ; \frac{1-\sqrt{33}}{2} ) \\
L_3= ( -\frac{1-\sqrt{41}}{2} ; 3) \\
L_4= \emptyset \\
L = ( -\frac{1+\sqrt{41}}{2} ; \frac{1-\sqrt{33}}{2} ) \cup ( -\frac{1-\sqrt{41}}{2} ; 3 )
\)
  ─   shadow vor 5 Stunden, 58 Minuten

Das, was hinter "Ergebnis:" steht, hab ich nicht nachgerechnet. Aber der Übergang davon zu den $L_1,...L_4$ und zu $L$ wäre richtig.   ─   mikn vor 5 Stunden, 35 Minuten

Kommentar schreiben