Question

Betragsungleichung Fallunterscheidung & Lösungsintervall bilden

Aufrufe: 563 Aktiv: 19.08.2022 um 21:02

0

Hi,

ich habe folgende Aufgabe:
$\lvert x^2-9 \rvert \lt \lvert x-1 \rvert $
Daraus folgt dann:
\[
y_2=\lvert x^2-9 \rvert = \left\{
\begin{array}{ll}
(x^2-9) & \text{wenn } x^2-9\ge 0 \to x \le -3 ; x \ge 3 \\
-(x^2-9) & \text{wenn } x^2-9\le 0 \to -3 \le x \le 3
\end{array}
\right\}
\]
\[
y_2=\lvert x-1 \rvert = \left\{
\begin{array}{ll}
(x-1) & \text{wenn } x-1\ge 0 \to x \ge -1 \\
-(x-1) & \text{wenn } x-1\le 0 \to x \le 1
\end{array}
\right\}
\]

Somit folgen als Lösungen bei der Berechnung der Schnittpunkte:
1. Fall: $x \le -3 $: $- \frac{1+\sqrt{41}}{2}$
2. Fall: $-3 \le x \le 1$: $\frac{1-\sqrt{33}}{2}$
3. Fall: $1 \le x \le 3$: $\frac{-1+\sqrt{33}}{2}$
4. Fall: $x \le 3$: $\frac{1+\sqrt{33}}{2}$

Somit stellen sich nun zwei Fragen:
1. Wie kann ich effizient die beiden quadratischen Ungleichungen $x^2-9 \ge 0$ und $x^2-9 \le 0$ lösen? (ohne dabei in Wolfram Alpha zu schauen ^^)
2. Wie bilde ich aus meinen 4 Ergebnissen das Lösungsintervall.

EDIT vom 10.08.2022 um 00:24:

EDIT: Frage 2, 1. Fall:

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gefragt 29.07.2022 um 17:19

shadow
Student, Punkte: 42

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1 Antwort

mikn · Accepted Answer · 2022-07-29T17:26:00Z

1

Zu 1.: Du würdest also erstmal $x^2-9\ge 0$ lösen, und danach auf dem analogen Weg $x^2-9\le 0$? Das Stichwort heißt hier Faktorisieren (und spoiler: 3. bin. Formel).
Zu 2.: Deine Ergebnisse zu den vier Fällen sind keine Lösungen, das sind irgendwelche Zahlen (keine Ahnung, welche). Es sind Ungleichungen zu lösen, jeder der vier Fälle gibt eine Lösungsmenge (in diesem Fall: Intervall). Die Gesamtlösungsmenge ist die Vereinigung der vier Teillösungsmenge.

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geantwortet 29.07.2022 um 17:26

mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 38.88K

Zu 1.: Also am Ende: \[x^2-9\ge 0 \Leftrightarrow (x+3)(x-3) \ge 0 \Leftrightarrow x+3 \ge 0\ \vee\ x-3 = 0\ \vee\ x \ge -3\ \vee\ x\ge3 \] und dann das selbe wiederholen für den zweiten Term?

Zu 2.: Meine Idee bestand darin, die linke und rechte Seite als einzelne Gleichungen $y_1$ und $y_2$ aufzufassen und diese dann gleichsetzen um die Schnittpunkte zu berechnen. Da es sich um Betragsgleichungen handelt wäre dann wieder Fallunterscheidung nötig und das Ergebnis dieser ist oben aufgelistet (die Zahlen, welche als Ergebnis dieser heraus gekommen sind, aber der Bedingung der Fallunterscheidung widersprechen, habe ich bereits weggelassen).
Dementsprechend müssten sich aus den Schnittpunkten das Lösungsintervall der Betragsungleichung bilden lassen. Oder so war zumindest die Idee. ─ shadow 29.07.2022 um 17:49

Zu 1.: Leider kein Tippfehler. Nur ich sehe gerade auch nicht wo ich dort einen Fehler gemacht habe. Ich kann nur sagen, das Ergebnis ergibt halt wenig Sinn verglichen mit dem von Wolfram Alpha.
$ x^2-9 \ge 0 \Leftrightarrow (x+3)(x-3) \ge 0
\\
\Leftrightarrow x+3 \ge 0\ |-3 \Leftrightarrow x \ge -3
\\
\vee
\\
\Leftrightarrow x-3 \ge 0\ |+3 \Leftrightarrow x \ge +3 $
Dabei erwarte ich hier ja eigentlich $ x \le -3 ; x \ge 3$. Und für den zweiten Term:
$
x^2-9 \ge 0 \Leftrightarrow (x+3)(x-3) \le 0
\\
\Leftrightarrow x+3 \le 0\ |-3 \Leftrightarrow x \le -3
\\
\vee
\\
\Leftrightarrow x-3 \le 0\ |+3 \Leftrightarrow x \le +3
$
Dabei erwarte ich ja hier eigentlich $-3 \le x \le 3$.

Zu 2: Ok. (Wobei mein Gedanke immerhin weniger Fehleranfällig ist, da ich weiß, dass ich bei Betragsgleichungen Formeln wie die pq oder Mitternachtsformel einsetzen kann und ich wüsste gerade net, dass sowas auch bei Ungleichungen geht. Kp, mit Ungleichungen, und vor allem sobald da was anderes rein gemischt wird, wie Beträge, tue ich mich noch schwer.)
Für den ersten Fall $x \le -3$:

$
(x^2-9)\lt -(x-1) \\
\Leftrightarrow x^2-9 \lt -x+1\ |-(-x+1) \\
\Leftrightarrow x^2 + x - 10 \lt 0\ | + 10 \\
\Leftrightarrow x^2+x \lt 10\ |+\frac{1}{4} \\
\Leftrightarrow x^2+x+\frac{1}{4} \lt \frac{41}{4} \\
\Leftrightarrow (x+\frac{1}{2})^2 \lt \frac{41}{4} \\
\Leftrightarrow x+\frac{1}{2} \lt \frac{\sqrt{41}}{2}\ \vee\ x + \frac{1}{2}\lt -\frac{\sqrt{41}}{2} \\
\Leftrightarrow x \lt \frac{1}{2}(\sqrt{41}-1)\ \vee\ x \lt \frac{1}{2}(-1-\sqrt{41})
$
Dementsprechend ist die Lösung des ersten Falls: $x \lt \frac{1}{2}(-1-\sqrt{41})$.

Zu 1.: Leider kein Tippfehler. Nur ich sehe gerade auch nicht wo ich dort einen Fehler gemacht habe. Ich kann nur sagen, das Ergebnis ergibt halt wenig Sinn verglichen mit dem von Wolfram Alpha.
$ x^2-9 \ge 0 \Leftrightarrow (x+3)(x-3) \ge 0 
\\
\Leftrightarrow x+3 \ge 0\ |-3 \Leftrightarrow x \ge -3
\\
\vee
\\
\Leftrightarrow x-3 \ge 0\ |+3 \Leftrightarrow x \ge +3 $
Dabei erwarte ich hier ja eigentlich $ x \le -3 ; x \ge 3$. Und für den zweiten Term:
$
x^2-9 \ge 0 \Leftrightarrow (x+3)(x-3) \le 0 
\\
\Leftrightarrow x+3 \le 0\ |-3 \Leftrightarrow x \le -3
\\
\vee
\\
\Leftrightarrow x-3 \le 0\ |+3 \Leftrightarrow x \le +3
$
Dabei erwarte ich ja hier eigentlich $-3 \le x \le 3$.

Zu 2: Ok. (Wobei mein Gedanke immerhin weniger Fehleranfällig ist, da ich weiß, dass ich bei Betragsgleichungen Formeln wie die pq oder Mitternachtsformel einsetzen kann und ich wüsste gerade net, dass sowas auch bei Ungleichungen geht. Kp, mit Ungleichungen, und vor allem sobald da was anderes rein gemischt wird, wie Beträge, tue ich mich noch schwer.)
 Für den ersten Fall $x \le -3$:

$
(x^2-9)\lt -(x-1) \\
\Leftrightarrow x^2-9 \lt -x+1\ |-(-x+1) \\
\Leftrightarrow x^2 + x - 10 \lt 0\ | + 10 \\
\Leftrightarrow x^2+x \lt 10\ |+\frac{1}{4} \\
\Leftrightarrow x^2+x+\frac{1}{4} \lt \frac{41}{4} \\
\Leftrightarrow (x+\frac{1}{2})^2 \lt \frac{41}{4} \\
\Leftrightarrow x+\frac{1}{2} \lt \frac{\sqrt{41}}{2}\ \vee\ x + \frac{1}{2}\lt -\frac{\sqrt{41}}{2} \\
\Leftrightarrow x \lt \frac{1}{2}(\sqrt{41}-1)\ \vee\ x \lt \frac{1}{2}(-1-\sqrt{41})
$
Dementsprechend ist die Lösung des ersten Falls: $x \lt \frac{1}{2}(-1-\sqrt{41})$.

─ shadow 30.07.2022 um 11:57

Zu 1.: Ja, dass ich 4 Aussagen mit $\vee$ verbunden habe ist kein Tippfehler. Habe halt jede Klammer individuell behandelt um für jeden Term in der Klammer die Lösung zu berechnen.
Das bei 2 Fällen = 4 Aussagen am Ende.

Aber weiterkommen tue ich hier gerade nicht. Die Aussage mit dem Produkt und den Faktoren verstehe ich und ergibt Sinn. Aber ich verstehe nicht wo mir das bei der Lösung hilft. Aktuell sehe ich eher, dass ich mir wieder die 1. Zeile hinschreiben würde und am Ende wieder das selbe Ergebnis wie oben raus bekäme. -_-

Kennst du denn eine Website wo man Aufgaben zu Beträgen (am besten mit Lösungen) findet? Da mein Mathe-Buch von Papula endet an dem Punkt bereits damit und steigt danach in die einfachere Vektorrechnung ein.

Zu 2.: Interessant dass man dies am schnellsten durch eine Skizze löst. Da ist man meistens ja doch etwas ungenauer als wenn man es ausrechnet. Zumindest falls es auf Nachkommastellen ankommt.
Muss ich mir mal nachher anschauen.

Zum LaTeX Tipp: Ah, nice. Hatte hier immer \Leftrightarrow verwendet.

Zu 1.: Ja, dass ich 4 Aussagen mit $\vee$ verbunden habe ist kein Tippfehler. Habe halt jede Klammer individuell behandelt um für jeden Term in der Klammer die Lösung zu berechnen.
Das bei 2 Fällen = 4 Aussagen am Ende.

Aber weiterkommen tue ich hier gerade nicht. Die Aussage mit dem Produkt und den Faktoren verstehe ich und ergibt Sinn. Aber ich verstehe nicht wo mir das bei der Lösung hilft. Aktuell sehe ich eher, dass ich mir wieder die 1. Zeile hinschreiben würde und am Ende wieder das selbe Ergebnis wie oben raus bekäme. -_-

Kennst du denn eine Website wo man Aufgaben zu Beträgen (am besten mit Lösungen) findet? Da mein Mathe-Buch von Papula endet an dem Punkt bereits damit und steigt danach in die einfachere Vektorrechnung ein.

Zu 2.: Interessant dass man dies am schnellsten durch eine Skizze löst. Da ist man meistens ja doch etwas ungenauer als wenn man es ausrechnet. Zumindest falls es auf Nachkommastellen ankommt.
Muss ich mir mal nachher anschauen.

Zum LaTeX Tipp: Ah, nice. Hatte hier immer \Leftrightarrow verwendet.

─ shadow 30.07.2022 um 13:51

Sorry für die lange Zeit bis zur Antwort.
Zu 1.: $L_1=(-\infty; 3] \cup [3;\infty) $
Der zweite Fall ist dann: Ein Produkt ist $\le 0 \iff $ ein Faktor ist $ \ge 0 $ und ein Faktor ist $\le 0$. Daraus folgt: $ L_2 = [-3 ; 3] $

Zu 2.: Für den ersten Fall $x \le−3$:
$
(x^2-9)\lt -(x-1) \\
\iff x^2-9 \lt -x+1\ |-(-x+1) \\
\iff x^2 + x - 10 \lt 0\ | + 10 \\
\iff x^2+x \lt 10\ |+\frac{1}{4} \\
\iff x^2+x+\frac{1}{4} \lt \frac{41}{4} \\
\iff (x+\frac{1}{2})^2 \lt \frac{41}{4} \\
\iff x+\frac{1}{2} \lt \frac{\sqrt{41}}{2}\ \vee\ x + \frac{1}{2}\lt -\frac{\sqrt{41}}{2} \\
\iff (x+\frac{1}{2})^2 \lt \frac{41}{4}\ \vee\ (x+\frac{1}{2})^2 \lt \frac{41}{4} \\
\iff |x+\frac{1}{2}| \lt \sqrt{\frac{41}{4}}
$

Da x der Abstand zu $-\frac{1}{2}$ bildet und kleiner als $ \sqrt{\frac{41}{4}}$ sein muss, sollte dieses von $(- \infty ; \sqrt{\frac{41}{4}}]$ gehen.
x muss kleiner sein als $ \sqrt{\frac{41}{4}}$. Zeitgleich haben wir einen Abstand von x zu $-\frac{1}{2}$. Somit kann dieses nicht $-\frac{1}{2}$ annehmen, aber alles auf der Zahlengerade davor und dahinter, was kleiner ist als $ \sqrt{\frac{41}{4}}$.

Sorry für die lange Zeit bis zur Antwort.
Zu 1.: $L_1=(-\infty; 3] \cup [3;\infty) $
Der zweite Fall ist dann: Ein Produkt ist $\le 0 \iff $ ein Faktor ist $ \ge 0 $ und ein Faktor ist $\le 0$. Daraus folgt: $ L_2 = [-3 ; 3] $

Zu 2.:  Für den ersten Fall $x \le−3$:
$
(x^2-9)\lt -(x-1) \\
\iff x^2-9 \lt -x+1\ |-(-x+1) \\
\iff x^2 + x - 10 \lt 0\ | + 10 \\
\iff x^2+x \lt 10\ |+\frac{1}{4} \\
\iff x^2+x+\frac{1}{4} \lt \frac{41}{4} \\
\iff (x+\frac{1}{2})^2 \lt \frac{41}{4} \\
\iff x+\frac{1}{2} \lt \frac{\sqrt{41}}{2}\ \vee\ x + \frac{1}{2}\lt -\frac{\sqrt{41}}{2} \\
\iff (x+\frac{1}{2})^2 \lt \frac{41}{4}\ \vee\ (x+\frac{1}{2})^2 \lt \frac{41}{4} \\
\iff |x+\frac{1}{2}| \lt \sqrt{\frac{41}{4}}
$

Da x der Abstand zu $-\frac{1}{2}$ bildet und kleiner als $ \sqrt{\frac{41}{4}}$ sein muss, sollte dieses von $(- \infty ;  \sqrt{\frac{41}{4}}]$ gehen.
x muss kleiner sein als $ \sqrt{\frac{41}{4}}$. Zeitgleich haben wir einen Abstand von x zu $-\frac{1}{2}$. Somit kann dieses nicht $-\frac{1}{2}$ annehmen, aber alles auf der Zahlengerade davor und dahinter, was kleiner ist als  $ \sqrt{\frac{41}{4}}$.

─ shadow 06.08.2022 um 22:39

Ok. Ich habe die Skizze mal hochgeladen und eine Skizze für die Vorübung hochgeladen (Mengen in der Skizze angegeben). ─ shadow 10.08.2022 um 00:26

Zur Vorübung: $(\frac{1}{2},1) \cup (1, 1\frac{1}{2})$.
Zu Fall 1: Der Abstand / Die Entfernung von $x$ zu $-\frac{1}{2}$ ist kleiner als $\sqrt{\frac{41}{4}}$. Also liegt $- \frac{1}{2}$ in der Mitte und x ist alles was eine geringe Distanz als $\sqrt{\frac{41}{4}}$ hat --> $x = (- \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{41}{4}} ; -\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{41}{4}})$ ─ shadow 10.08.2022 um 21:07

Zur Vorübung: oh, jap. Das muss in einem Intervall stehen statt die Aufteilung.
Habe das ganze jetzt für alle Fälle nach dem Schema durchgerechnet:

1. Fall: $x \le -3$: $ L_1=(-\frac{1+\sqrt{41}}{2};-\frac{1-\sqrt{41}}{2}) $
2. Fall: $-3 \le x \le 1 $: $L_2=(-\infty ; \frac{1-\sqrt{33}}{2}) \cup (\frac{1+\sqrt{33}}{2};\infty)$
3. Fall: $1 \le x \le 3$:$ L_3=(-\infty ; -\frac{1+\sqrt{41}}{2}) \cup (-\frac{1-\sqrt{41}}{2};\infty) $
4. Fall: $x \ge 4 $: $ L_4=(\frac{1-\sqrt{33}}{2};\frac{1+\sqrt{33}}{2}) $

Dann stellt sich jtzt noch die Frage wie ich bei diesen Lösungsmengen die Bedingung der Fälle für x beachte, da e.g. der 4. Fall ja von $-2,3$ bis $3,3$ geht,x aber größer als $4$ sein soll.

Und anschließend das ganze noch in ein Lösungsintervall packen, welches dann wieder $L = L_1 \cup L_2 \cup L_3 \cup L_4$ sein müsste. ─ shadow 15.08.2022 um 21:45

Ok.
$
\text{Fall 1: } x \le -3 \text{ : Ergebnis: } x\in(-\frac{1+\sqrt{41}}{2};-\frac{1-\sqrt{41}}{2}) \\
\text{Fall 2: } -3 \le x \le 1 \text{ : Ergebnis: } x\in(-\infty ; \frac{1-\sqrt{33}}{2}) \cup (\frac{1+\sqrt{33}}{2};\infty) \\
\text{Fall 3: } 1 \le x \le 3 \text{ : Ergebnis: } x\in(-\infty ; -\frac{1+\sqrt{41}}{2}) \cup (-\frac{1-\sqrt{41}}{2};\infty) \\
\text{Fall 4: } x \ge 4 \text{ : Ergebnis: } x\in(\frac{1-\sqrt{33}}{2};\frac{1+\sqrt{33}}{2}) \\
$

Daraus folgt dann:
$
L_1= ( -\frac{1+\sqrt{41}}{2} ; -3) \\
L_2= ( -3 ; \frac{1-\sqrt{33}}{2} ) \\
L_3= ( -\frac{1-\sqrt{41}}{2} ; 3) \\
L_4= \emptyset \\
L = ( -\frac{1+\sqrt{41}}{2} ; \frac{1-\sqrt{33}}{2} ) \cup ( -\frac{1-\sqrt{41}}{2} ; 3 )
$ ─ shadow 18.08.2022 um 00:00

Ok. Ich habe das ganze mal mit nem Online-Rechner verglichen und irgendwo sitzt noch ein Fehler drin. Das $x \in $ (Ergebnis in der oberen Nachricht) für die vier Fälle ist laut diesem korrekt. Aber die Lösungsmenge am Ende ist falsch. Im zweiten Intervall von $L$ müsste $(-\frac{1-\sqrt{41}}{2}; \frac{1+\sqrt{33}}{2})$ rauskommen.

Hier kann ich aber noch nicht ganz nachvollziehen wieso. Dies bedeutet ja, dass dort nochmal der 2. Fall vorkommen muss. Dieser steht aber schon im ersten Intervall. Also müsste vermutlich der 4. Fall auftauchen. Jedoch ist $L_4= \emptyset$, da $\frac{1-\sqrt{33}}{2} = -2,37 \ngtr 4$ sowie $\frac{1+\sqrt{33}}{2} = 3,37 \ngtr 4$.
$L=L_1 \cup L_2 \cup L_3 \cup L_4$=$ (-\frac{1+\sqrt{41}}{2};-3) \cup (-3; \frac{1-\sqrt{33}}{2})\cup( - \frac{1-\sqrt{41}}{2};3 ) \cup \emptyset = ( -\frac{1+\sqrt{41}}{2} ; \frac{1-\sqrt{33}}{2} ) \cup ( -\frac{1-\sqrt{41}}{2} ; 3 )$ . ─ shadow 19.08.2022 um 15:17

Oh ja, jetzt passt es. :)
Hatte den 4. Fall richtig eingezeichnet und irgendwie ist dann auf der nächsten Seite eine 4 anstelle der 3 gerutscht. -_-

Thx. ─ shadow 19.08.2022 um 16:52

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.