Mit Hilfe des Gauß-Algorithmus kannst du das Gleichungssystem in Zeilenstufenform bringen. Ist dann die unterste Zeile der Matrix eine Nullzeile, so ist der Rang der Matrix A \(rang(A) < 4\). Das Gleichungssystem hat keine eindeutige Lösung.

Dann musst du dir den ebenfalls umgewandelten Vektor b anschauen: Ist hier der letzte Eintrag auch eine Null, so hast du in der erweiterten Matrix (A und b zusammen als eine Matrix betrachten) eine komplette Nullzeile. Du hast einen Freiheitsgrad, d.h. das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.

Ist der letzte Eintrag \(b_4\) von b hingegen ungleich Null, so hast du in der letzten Zeile eine Gleichung der Form \( 0 = b_4 \), was für \(b_4 \neq 0 \) offensichtlich falsch ist. Das Gleichungssystem hat keine Lösung. 

Hat die Matrix A hingegen vollen Rang, also keine Nullzeile nach Umformung, so ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar. Alternativ ist das Gleichungssystem auch eindeutig lösbar, wenn die Determinante von A ungleich 0 ist, d.h. \(det(A) \neq 0\). Eine Determinante ungleich Null ist äquivalent zum vollen Rang der Matrix.

Dankeschön Kevin216