Untervektorräume, Basis, Dimension (Beweise)

Erste Frage Aufrufe: 70     Aktiv: 30.05.2021 um 19:54

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Hallo zusammen,

ich habe hier 2 Aufgaben, die mir ziemliche Verständnisprobleme bereiten.


Zu Aufgabe 1)

Ich weiß in der Theorie (glaube ich) was ich machen müsste. Nur haperts gewaltig an der Umsetzung und vor allem: Ich kapiere nicht was ich da überhaupt tue.

Um einen Untervektorraum zu beweisen müsste ich ja 1) prüfen, ob der Nullvektor enthalten ist. Das bekäme ich noch hin denke ich: 0 = 0 = 0
Dann im 2) Schritt zeigen, dass der Vektor (a,b,c) abgeschlossen gegenüber der Addition und Skalarmultiplikation ist. Hier haperts dann schonmal.. Nehme ich hierfür den Vektor (a,b,c) oder "die Bedinung (?)" a = b = c ?

Also z.B. a1 + a2 = b1 + b2 = c1 + c2 ? Und dann irgendwie umstellen ??

Zu Aufgabe 2)

Ähnliches Verständnisbild wie bei Aufgabe 1. Ich weiß, dass die Dimension die Anzahl der Basisvektoren ist. Also müsste ich mir nun 1) irgendwelche Vektoren aus W1 herauspicken und zeigen, dass diese eine Basis für W1 bilden ?
Auch hier stehe ich wieder massiv aufm Schlauch und weiß einfach nich genau wie ich das machen soll und eben vor allem auch warum und wesshalb.

Würde mich wirklich freuen, wenn mir das jemand für ne Mathe-Null wie mich erklären könnte.
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2 Antworten
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1) du musst sicher zeigen, dass \(W_1\) eine Vektorraum ist
  • \(\vec O=\pmatrix{0\\0\\0}\) ist Nullelement, denn \(\pmatrix{a\\a\\a}+\pmatrix{0\\0\\0}=?\)
  • \(\alpha \vec A+\vec B=\alpha\pmatrix{a\\a\\a}+\pmatrix{b\\b\\b}=\pmatrix{\alpha a+b\\\alpha a+b\\\alpha a+b}\in ?\)
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Erstmal danke für Ihre Antwort!

Leider meinte ich genau das mit meinen Verständnisproblemen.. O.o
Mein größtes Problem ist, dass ich nicht einmal genau wüsste, wie ich meine Frage formulieren könnte. :-D

Ich versuchs mal so:

W1 ist die Menge aller Vektoren (a,b,c) die Element von R³ sind und für die gilt: a = b = c.
Dabei bezieht sich die Bedingung a = b = c nicht auf einzelne Vektoren sondern auf die Komponenten der Vektoren. Richtig?

Dann wäre ein Vektor aus der Menge z.B. (1,1,1) oder auch (12,12,12)?

Wenn ich mir nun für die Vektoraddition 2 Vektoren (Seien es A und B) herauspicke, dann schreibe ich diese für den Beweis in allgemeiner Form:
A = (a1,b1,c1) und B = (a2,b2,c2)

A + B ergibt dann:

(a1 + a2) = (b1 + b2) = (c1 + c2)

Für die Skalarmultiplikation:
λ * A:
λ(a1,b1,c1)
λa1 = λb1 = λc1

Das wäre jetzt mein Gedankengang zumindest, vllt kommt so mein Verständnisproblem rüber
  ─   user7c3b56 30.05.2021 um 17:59

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Deine Ansätze sind schonmal super! Dass der Nullvektor in \(W_1\) ist, konntest du schon zeigen, nun also zur Abgeschlossenheit: Sei \(a,b\in W_1\) beliebig,  dann gilt \(v=(a,a,a)^t\) und \(w=(b,b,b)^t\). Hieraus folgt  \(v+w=(a+b,a+b,a+b)^t\)  und da \(a+b=a+b=a+b\) gilt, ist \(v+w\in W_1\). Versuch die skalare Multiplikation mal selber. Bei Aufgabe 2 kannst du das homogene LGS \(((a,a,a)^t,(b,b,b)^t),(c,c,c)^t)x=0\) betrachten. Was fällt dir auf?
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Danke für deine Antwort!

Was bedeutet das "t" welches da oben an die Vektoren angehängt ist?

Für Aufgabe 1 habe ich meinen Gedankengang in der anderen Antwort mal niedergeschrieben.. Vllt könntest du da einmal mit drüber gucken? Kann jede Hilfe gebrauchen :D

Zu Aufgabe 2:

Auch hier wieder schwierig mein Problem in Worte zu fassen. Ich schreibe mal wieder meinen Gedankengang auf:

Ich habe mal aufgeschnappt, dass wenn man eine mögliche Basis (1. Frage: Gibt es immer mehrere Basen?) angeben muss, man sich möglichst einfache Vektoren hernimmt und für diesen dann beweist, dass diese linear unabhängig sind.

Wenn ich jetzt dann z.B. die "Einheitsvektoren" A = (1,0,0), B = (0,1,0) und C = (0,0,1) hernähme, würde mein LGS so aussehen:

\( 1λ_1 + 0λ_2 + 0λ_3= 0 \)
\( 0λ_1 + 1λ_2 + 0λ_3= 0 \)
\( 0λ_1 + 0λ_3 + 1λ_3= 0 \)

Damit wären jetzt λ1,2,3 = 0 und damit linear unabhängig, weil sich der Nullvektor nur darstellen läss, wenn λ = 0 ist.

Nun würde ich das gleiche LGS nach a,b,c auflösen:
dann käme man auf
λ1 = a
λ2 = b
λ3 = c

Das würde dann bedeuten, dass die 3 Einheitsvektoren ein Erzeugendensystem sind - was vorraussetzung einer Basis ist - und da es nunmal 3 Vektoren sind wäre die Dimension = 3.

Ich möchte nicht wissen, wie viele Fehler da nun drin stecken (doch, natürlich möchte ich das!) aber das wäre jetzt mein Ansatz. Vllt kommen so meine Verständnisprobleme besser rüber
  ─   user7c3b56 30.05.2021 um 18:19

Das \(t\) transponiert meinen Zeilenvektor zu einem Spaltenvektor. Dein Gedankengang zu Aufgabe 1 sieht gut aus, vergelich das ganze mal mit meinem Beweis aus meiner Antwort. Zu Aufgabe 2: die Einheitsvektoren sind garantiert keine Basis, da sie nicht in der Menge sind (alle Komponenten müssen gleich sein). Das richtige LGS findest du in meiner Antwort, versuche das mal zu lösen   ─   mathejean 30.05.2021 um 18:24

Also ist aber auch mein kompletter Gedankengang/Lösungsansatz zu Aufgabe 2 nicht richtig ? Abgesehen davon, dass ich die falschen Vektoren gewählt habe?

Ich bin mir gerade nur nicht ganz sicher, ob ich das LGS von Dir richtig interpretiere:

\( ax+bx+cx=0\)
\( ax+bx+cx=0\)
\( ax+bx+cx=0\)

Sry, ich bin einfach ein schwerer Fall O.o
  ─   user7c3b56 30.05.2021 um 18:41

Genau, dieses LGS, weil die Vektoren der Form \((a,a,a)^t\) sind. Versuch jetzt mal das LGS in ZSF zu bringen   ─   mathejean 30.05.2021 um 19:10

Geht das denn überhaupt?? Bzw. bliebe dann am Ende nicht einfach eine Gleichung
\( ax+bx+cx=0 \) übrig?
  ─   user7c3b56 30.05.2021 um 19:17

Genau und was bedeutet das?   ─   mathejean 30.05.2021 um 19:26

Dass dann a = b = c ist?
Bzw. dass man alle Komponenten des Vektors (a,b,c) mit eben dieser einen Bedingung darstellen kann?

Oder: Dass die Bedingung eben nur erfüllt ist, wenn a,b,c = 0 sind?
  ─   user7c3b56 30.05.2021 um 19:31

Du hast hier einen Rangverlust, was bedeutet, dass von demn Vektoren kannst du hier zwei Vektoren wegnehmen, damit die Vektoren linear unabhängig sind. Eine Basis bildet also jeder Vektor \((a,a,a)^t\) mit \(a\not = 0\)   ─   mathejean 30.05.2021 um 19:54

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