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Deine Ansätze sind schonmal super! Dass der Nullvektor in \(W_1\) ist, konntest du schon zeigen, nun also zur Abgeschlossenheit: Sei \(a,b\in W_1\) beliebig, dann gilt \(v=(a,a,a)^t\) und \(w=(b,b,b)^t\). Hieraus folgt \(v+w=(a+b,a+b,a+b)^t\) und da \(a+b=a+b=a+b\) gilt, ist \(v+w\in W_1\). Versuch die skalare Multiplikation mal selber. Bei Aufgabe 2 kannst du das homogene LGS \(((a,a,a)^t,(b,b,b)^t),(c,c,c)^t)x=0\) betrachten. Was fällt dir auf?
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mathejean
Student, Punkte: 10.87K
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Das \(t\) transponiert meinen Zeilenvektor zu einem Spaltenvektor. Dein Gedankengang zu Aufgabe 1 sieht gut aus, vergelich das ganze mal mit meinem Beweis aus meiner Antwort. Zu Aufgabe 2: die Einheitsvektoren sind garantiert keine Basis, da sie nicht in der Menge sind (alle Komponenten müssen gleich sein). Das richtige LGS findest du in meiner Antwort, versuche das mal zu lösen
─
mathejean
30.05.2021 um 18:24
Also ist aber auch mein kompletter Gedankengang/Lösungsansatz zu Aufgabe 2 nicht richtig ? Abgesehen davon, dass ich die falschen Vektoren gewählt habe?
Ich bin mir gerade nur nicht ganz sicher, ob ich das LGS von Dir richtig interpretiere:
\( ax+bx+cx=0\)
\( ax+bx+cx=0\)
\( ax+bx+cx=0\)
Sry, ich bin einfach ein schwerer Fall O.o
─ user7c3b56 30.05.2021 um 18:41
Ich bin mir gerade nur nicht ganz sicher, ob ich das LGS von Dir richtig interpretiere:
\( ax+bx+cx=0\)
\( ax+bx+cx=0\)
\( ax+bx+cx=0\)
Sry, ich bin einfach ein schwerer Fall O.o
─ user7c3b56 30.05.2021 um 18:41
Genau, dieses LGS, weil die Vektoren der Form \((a,a,a)^t\) sind. Versuch jetzt mal das LGS in ZSF zu bringen
─
mathejean
30.05.2021 um 19:10
Geht das denn überhaupt?? Bzw. bliebe dann am Ende nicht einfach eine Gleichung
\( ax+bx+cx=0 \) übrig? ─ user7c3b56 30.05.2021 um 19:17
\( ax+bx+cx=0 \) übrig? ─ user7c3b56 30.05.2021 um 19:17
Genau und was bedeutet das?
─
mathejean
30.05.2021 um 19:26
Dass dann a = b = c ist?
Bzw. dass man alle Komponenten des Vektors (a,b,c) mit eben dieser einen Bedingung darstellen kann?
Oder: Dass die Bedingung eben nur erfüllt ist, wenn a,b,c = 0 sind? ─ user7c3b56 30.05.2021 um 19:31
Bzw. dass man alle Komponenten des Vektors (a,b,c) mit eben dieser einen Bedingung darstellen kann?
Oder: Dass die Bedingung eben nur erfüllt ist, wenn a,b,c = 0 sind? ─ user7c3b56 30.05.2021 um 19:31
Du hast hier einen Rangverlust, was bedeutet, dass von demn Vektoren kannst du hier zwei Vektoren wegnehmen, damit die Vektoren linear unabhängig sind. Eine Basis bildet also jeder Vektor \((a,a,a)^t\) mit \(a\not = 0\)
─
mathejean
30.05.2021 um 19:54
Was bedeutet das "t" welches da oben an die Vektoren angehängt ist?
Für Aufgabe 1 habe ich meinen Gedankengang in der anderen Antwort mal niedergeschrieben.. Vllt könntest du da einmal mit drüber gucken? Kann jede Hilfe gebrauchen :D
Zu Aufgabe 2:
Auch hier wieder schwierig mein Problem in Worte zu fassen. Ich schreibe mal wieder meinen Gedankengang auf:
Ich habe mal aufgeschnappt, dass wenn man eine mögliche Basis (1. Frage: Gibt es immer mehrere Basen?) angeben muss, man sich möglichst einfache Vektoren hernimmt und für diesen dann beweist, dass diese linear unabhängig sind.
Wenn ich jetzt dann z.B. die "Einheitsvektoren" A = (1,0,0), B = (0,1,0) und C = (0,0,1) hernähme, würde mein LGS so aussehen:
\( 1λ_1 + 0λ_2 + 0λ_3= 0 \)
\( 0λ_1 + 1λ_2 + 0λ_3= 0 \)
\( 0λ_1 + 0λ_3 + 1λ_3= 0 \)
Damit wären jetzt λ1,2,3 = 0 und damit linear unabhängig, weil sich der Nullvektor nur darstellen läss, wenn λ = 0 ist.
Nun würde ich das gleiche LGS nach a,b,c auflösen:
dann käme man auf
λ1 = a
λ2 = b
λ3 = c
Das würde dann bedeuten, dass die 3 Einheitsvektoren ein Erzeugendensystem sind - was vorraussetzung einer Basis ist - und da es nunmal 3 Vektoren sind wäre die Dimension = 3.
Ich möchte nicht wissen, wie viele Fehler da nun drin stecken (doch, natürlich möchte ich das!) aber das wäre jetzt mein Ansatz. Vllt kommen so meine Verständnisprobleme besser rüber
─ user7c3b56 30.05.2021 um 18:19