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Wir haben gerade gelernt, dass man Funktionen als Potenzreihen darstellen kann. Jetzt soll ein Beispiel illustrieren, wie man damit den Grenzwert berechnen kann: \( \lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} \).
Zuerst wird \( \frac{e^x-1}{x} \) umgeformt zu \( \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{(n+1)!} \). Dann wird mit dem Quotientenkriterium gezeigt, dass der Konvergenzradius Unendlich ist. Dann wird mit einem gerade gelernten Satz darauf geschlossen, dass die Funktion auf ganz \( \mathbb{R} \) und damit auch in Null stetig ist. Soweit so gut. Daraus wird jetzt aber folgende Umformung hergeleitet:

$$  \lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} =  \lim_{x\to 0} \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{(n+1)!} = \sum_{n=0}^\infty\frac{0^n}{(n+1)!} = 1 $$

Meine Frage: Wieso folgt mit der Stetigkeit in 0 der vorletzte Umformungsschritt? Zur Erinnerung: stetig bedeutet flapsig, dass ich den Grenzwert mit dem Funktionswert austauschen kann. Der 2. Teil (wo das lim zuletzt auftaucht) lässt x ja gegen 0 laufen. Kann ich, weil die Funktion stetig in 0 ist, also einfach das lim weglassen und für x die 0 einsetzen oder ist es 0, weil \( f(0) =  \frac{e^0-1}{0} = 0\) ergibt? Das kann ich mir aber nicht vorstellen, denn dann würde man durch 0 teilen.
Kann jemand bisschen Ordnung in meine Gedanken bringen?
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Du hast eigentlich alles richtig erklärt: Aus der Stetigkeit folgt \(\lim_{x\to x_0}g(x)=g(x_0)\), also kannst du in deiner Gleichung den Limes weglassen und dann das \(x\) durch \(0\) ersetzen.
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