Bei solchen Gleichungen, also Typ \(f_{n+2}+a f_{n+1}+b f_n=0\) gilt:

\(f_n=c\lambda_1^n+d\lambda_2^n\) mit Konstanten \(c, d\), wobei \(\lambda_1,\lambda_2\) die Nullstellen des charakteristischen Polynoms \(\lambda^2+a\lambda +b\) sind, WENN \(\lambda_1\neq \lambda_2\) und beide reell sind.

Die Konstanten \(c,d\) bestimmt man durch Anpassung an die beiden Startwerte. Mit dieser Methode ist man in diesem Fall relativ schnell bei der Lösung, die in diesem Fall lautet: \(f_n=-6^n+2\cdot 4^n\).

Ich weiß jetzt nicht genau, in welchem stofflichen Zusammenhang die Aufgabe steht, könnte dir aber einen Ansatz aus der linearen Algebra liefern.

Für das \(n\)-te und \(n-1\)-te Glied der Folge lässt sich durch die Definition folgende Matrix-Vektor-Gleichung aufstellen: \(\begin{pmatrix} f_n \\ f_{n-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & -24 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} f_{n-1} \\ f_{n-2}\end{pmatrix}\) mit \(A := \begin{pmatrix} 10 & -24 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\).
Wendet man nun die Rekursionsvorschrift noch \(n-1\)-mal an, erhält man folgende Gleichung:\(\begin{pmatrix} f_n \\ f_{n-1}\end{pmatrix}= A^{n-1} \begin{pmatrix} f_1 \\ f_0\end{pmatrix}\)

Führt man nun eine Diagonalzerlegung \(A = V\Lambda V^{-1}\)durch, wobei \(\Lambda\) die Eigenwerte von \(A\) auf der Diagonale und \(V\) die zugehörigen Eigenvektoren als Spaltenvektoren trägt, so erhält man \(\begin{pmatrix} f_n \\ f_{n-1}\end{pmatrix}= V\begin{pmatrix} \lambda_1^{n-1} & 0 \\ 0 & \lambda_2^{n-1} \end{pmatrix} V^{-1}\begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix} \).

Versuch das am besten mal selber nachzuvollziehen und auszurechnen, zur Kontrolle hier noch eine Lösung:

Eigenwerte: \(\lambda_1 = 6, \; \lambda_2 = 4 \;\Rightarrow\; \Lambda = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\)

Diagonalzerlegung: \(A = \begin{pmatrix}6&4\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -1 & 6 \end{pmatrix}\)

Damit ergibt sich \(\begin{pmatrix} f_n \\ f_{n-1}\end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix}6&4\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6^{n-1} & 0 \\ 0 & 4^{n-1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -1 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}\)

Letztendlich erhält man die explizite Berechnungsvorschrift \(f_n = -6^n + 4^{n+\frac{1}{2}}\)