Nullhypothese, Gegenhypothese

Erste Frage Aufrufe: 85     Aktiv: 01.08.2021 um 05:52

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Hallo,

Rolf behauptet, in 3 von 4 Fällen bei Milchproben schmecken zu können, ob sie seine Lieblingssorte sind. Tanja sagt, "du rätst nur". Sie wollen mit 20 Proben herausfinden, wer Recht hat.

Formulieren Sie Null- und Gegenhypothese und entwickeln Sie ein Testverfahren mit ausgewogenen Irrtumsrisiken.

die Nullhypothese ist hier ja h0:p = 3/4

jedoch verstehe ich nicht, was hier die Gegenhypothese sein soll?


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Hallo,
bei solchen Testverfahren stellt man als Nullhypothese immer eine Ungleichung auf, d.h. eine Annahme wird als richtig angenommen, wenn diese Ungleichung vom Zufallsversuch erfüllt worden ist.
Das ergibt ja auch Sinn. Denn wenn Du =0,75 annimmst und Rolf schmeckt alle richtig, würde das Deine Nullhypothese mit Gleichheit gar nicht erfüllen, obwohl an seiner Angeberei ja vielleicht wirklich etwas dran ist.

Die Gegenhypothese ist immer das Gegenteil der Nullhypothese, also die umgekehrte Ungleichung. Wobei natürlich die Zahl selber nur in einer der beiden Hypothesen enthalten sein darf (also z.B. $H_0\leq 0,75$, dann ist die Gegenhypothese $\overline{H_0}>0,75$, es kann nur ein Gleichheitszeichen geben).

Welche Hypothese bei Deiner Aufgabe unter Berücksichtigung von Fehler 1.Art/Fehler 2.Art hier richtig ist, solltest Du jetzt noch einmal selber überlegen :-)
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Vielen Dank erstmal :-)
Ich würde sagen h0:p ≥ 0,75 und entsprechend h1:p < 0,75

Das weitere Vorgehen ist mir allerdings ein bisschen unklar, ich hätte jetzt nur die Überlegung, einen Wert für alpha anzunehmen, ich würde mich jetzt aufgrund der sehr kleinen Stichprobe für 0,1 entscheiden und dann den kritischen Wert entsprechend ermitteln.

also:

P (X≤ k) < 0,1 für p=0,75
-> da würde ich k=11 erhalten

jedoch sagt ja die Aufgabenstellung, dass ich ein Testverfahren mit ausgewogenen Irrtumswahrscheinlichkeiten entwickeln soll.
Das meint ja, dass beta und alpha zumindest annähernd gleich sein sollen(?).
Ich weiß hier nicht so ganz wie ich vorgehen soll, da ich ja kein p für die Berechnung vom beta Fehler habe (ich rechne mit dem TR und würde hier ja normalerweise p einfach eingeben). Wie soll ich also überprüfen, ob die Irrtumswahrscheinlichkeiten ausgewogen sind? Oder muss ich p so bestimmen, dass alpha und beta ausgewogen sind? Das macht doch irgendwie keinen Sinn?

Kann auch sein, dass ich mich grad völlig verrenne! :´D
  ─   xyza 31.07.2021 um 22:14

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@joergwausw: Es gibt auch Hypothesentests ohne Ungleichung (Alternativtest). Im Allgemeinen ist deine Aussage also erst einmal falsch. Für dieses Beispiel macht jedoch ein einseitiger Test Sinn.

Bei einseitigen Tests steht die Gleichheit jedoch immer (!) in der Nullhypothese! Darüber hinaus ist auch deine Notation falsch. Man schreibt $H_0:p\geq 0{,}75$ und $H_1:p<0{,}75$.

@xyza: Was das mit dem ausgewogen bedeuten soll, ist mir ist aber auch unklar. Gängige Werte für das Signifikanzniveau sind aber $1\,\%$, $5\,\%$ oder $10\,\%$.
  ─   cauchy 31.07.2021 um 23:09

Vorbemerkung zum Kommentar von @cauchy: Alternativtests haben aber keine Nullhypothese - oder liege ich da auch falsch? Und ich schrieb "solchen Testverfahren". Alternativtests hatte ich bei meiner Antwort tatsächlich nicht im Sinn - und es sollte auch keine allgemeine Aussage zu Hypothesentests sein.
...und zum Ungleichheitszeichen: ist das wirklich per Definition festgeschrieben oder eine Vereinbarung? Ich kann ja immer die Grenze um eins verschieben... ich hoffe, dass im Folgenden deutlich wird, warum ich das persönlich anders sehe.

Zur Aufgabe selbst:
Ich persönlich mag dieses Thema nicht so gerne, weil man sich da immer einen Knoten ins Gehirn denkt und es dann am Ende im Zweifel immer jemenden gibt, der es anders richtig findet.

Möglicherweise ist mit "ausgewogen" gemeint, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit für die Fehler 1. und 2. Art (oder alpha- und beta-Fehler) gleich groß sein sollen...?

Jedenfalls würde sich Tanja auf den Standpunkt stellen, dass Rolf das nicht so gut kann, wie er behauptet. Sie muss überzeugt werden. Dementsprechen würde ich für Tanja die Nullhypothese auf $p<0,75$ setzen, weil sie glaubt, dass es weniger ist (deshalb auch hier aus meiner Sicht kein =). Es soll 20 Versuche geben. Das bedeutet ja: wenn Rolf 15 richtige schafft, dann ist es nicht überzeugend, dass Rolf so gut ist, wie er behauptet. Denn die Wahrscheinlichkeit für 15 richtige ist immer noch ziemlich groß, wenn Rolf nur 74% erkennen kann. Deshalb glaubt Tanja erst dann, dass Rolf so gut ist, wenn er signifikant mehr richtige schafft als 15. Nur dann würde sie ihre Nullhypothese verwerfen..

Umgekehrt würde Rolf die umgekehrte Nullhypothese aufstellen ($p>=0,75$). Denn wenn er nicht signifikant nach unten abweicht, würde er seine Behauptung als belegt ansehen. Dann wäre aber - je nach Signifikanzniveau - zum Beispiel ein Ergebnis von 14 richtigen noch nicht signifikant zu wenig. In diesem Fall hätte der Test ergeben, dass Rolf recht hat - obwohl er weniger geschafft hat...

Ein Testergebnis von genau 15 hat die größte Wahrscheinlichkeit bei $p=0,75$. Deshalb muss man überlegen, wie man die Grenzen festlegt für welche Interpretation des Ergebnisses.
Und letztlich kann es dann passieren, dass die Erkenntnis aufgrund des Tests falsch ist, eben genau dann, wenn der unwahrscheinlichere Fall tatsächlich eintritt. Und hier kommen dann die Fehlerwahrscheinlichkeiten ins Spiel. Wenn man diese gleich groß hinbekommt, könnte das fair sein. Wenn sie allerdings zu groß sind, wäre die Frage, wem der Test eigentlich nützt, weil das Ergebnis mit relativ hoher Wahrscheinlichkeit nicht stimmt - egal in wessen Sinne...
  ─   joergwausw 01.08.2021 um 04:23

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Ja, du liegst da auch falsch. Warum sollten Alternativtests keine Nullhypothese haben? Bei einem Alternativtest wird lediglich die Nullhypothese $H_0:p=p_0$ gegen $H_1:p= p_1$ geprüft.

Auch sind deine weiteren Ausführungen nicht ganz korrekt. Die Nullhypothese kann man nicht beweisen und deswegen steht das, was man behauptet immer in der Alternativhypothese. Das führt dann zwangsläufig dazu, dass das "gleich" in der Nullhypothese steht. Tanja behauptet, dass Rolf nur rät. Sie ist also davon überzeugt, dass $p<0{,}75$. Daher ist das ihre Alternativhypothese (das will sie beweisen). Ihre Nullhypothese lautet dann $H_0:p\geq 0{,}75$. Für Rolf ist es dann genau andersherum.

Eine kleine Merkhilfe, die das vielleicht etwas einfacher macht: Man stelle sich eine Gerichtsverhandlung vor, in der man die Schuld eines Angeklagten beweisen möchte. Man wählt also $H_1:\text{Der Angeklagte ist schuldig}$ und $H_0:\text{Der Angeklagte ist unschuldig}$. Sollten genügend Beweise vorliegen, kann ich die Schuld beweisen ($H_1$). Sollte ich aber nicht genug Beweise haben und nur Indizien, so kann ich die Schuld des Angeklagten nicht beweisen. Das ist aber noch lange kein Beweis dafür, dass der Angeklagte unschuldig ist. Dennoch nehme ich $H_0$ an nach dem Motto im Zweifel für den Angeklagten. Man nimmt also grundsätzlich an, dass die Nullhypothese gilt (der Angeklagte ist solange unschuldig, bis seine Schuld bewiesen ist) und möchte beweisen, dass die Alternativhypothese gilt (der Angeklagte ist schuldig). Damit lässt sich dann auch einfach die Irrtumswahrscheinlichkeit (Fehler 1. Art) erklären: Das ist nämlich dann der Fehler, dass der Angeklagte zu Unrecht verurteilt wird, also $H_1$ wird fälschlicherweise angenommen.
  ─   cauchy 01.08.2021 um 04:43

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Wieso ist beim Alternativtest denn eine der beiden Möglichkeiten bevorzugt?
Es gibt einige Quellen, bei denen von $H_1$ und $H_2$ gesprochen wird und sogar gegen die Nullhypothese abgegrenzt wird, Bsp:
https://learnattack.de/schuelerlexikon/mathematik/alternativtest
https://de.serlo.org/mathe/2007/hypothesentest-arten

Genau diese Diskussionen, was denn jetzt die Nullhypothese sein soll, mag ich an dem Thema nicht.
Nehmen wir an, die Qualitätskontrolle eine Firma soll prüfen, dass ihre Produkte in 95% der Fälle richtig arbeiten und eine sehr teure Wartung der Maschinen nicht nötig ist. Dann wählen sie als Nullhypothese $p\geq 0,95$, eben weil sie erst ab einer signifikanten Abweichung nach unten Handlungsbedarf annehmen wollen: Im Zweifel für den Status quo.
Denn erst bei der signifikanten Abweichung wird die Nullhypothese verworfen.
Umgekehrt: Warum sollte die Firma mit hoher Wahrscheinlichkeit auch dann eine Wartung vornehmen wollen, wenn beim Test 96% korrekte Produkte geliefert wurden?
Und wenn jemand beweisen will, dass die Behauptung der Firma falsch ist, dann macht dieser jemand das nach Deiner Methode und wählt die gleiche Nullhypothese....
Letztlich ist in solch einem Fall die Intention das wichtige, also: was wäre das schlimmere Problem: Es ist normalerweise schlimmer, einen Unschuldigen einzusperren als einen Schuldigen freizusprechen. Deshalb wird so gewählt, dass im Zweifel für den Angeklagten die größere Wahrscheinlichkeit hat.
Tanja möchte dass Rolf seine Behauptung beweist und besteht deshalb auf die für sie günstigere Nullhypothese... in diesem Beispiel in der Frage gibt es ja keine Folge die nachhaltig schlimmer ist als die andere. Und die Behauptungen werden "gleichzeitig" vorgetragen. Daher halte ich eine Einigung der beiden für schwierig....
  ─   joergwausw 01.08.2021 um 05:52

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