Der Anlass

Hier:

https://fragen.letsrockmathe.de/question/9293/textaufgabe-quadratische-gleichungen/

hat sich das Problem ergeben, bei einem rechtwinkligen Dreieck aus der Kenntnis der Summe der Kathetenlängen \(a+b\) und der Länge der Hypotenuse \(c\) (wodurch natürlich auch \(c^2\) bekannt ist) auf die Länge der einzelnen Katheten zu schließen. Es gibt für diese Art von Aufgabe immer zwei Lösungen, weil die Katheten die Plätze tauschen können. Wenn wir uns vergegenwärtigen, wie ein rechtwinkliges Dreieck über einen über die Hypothenuse geschlagenen Halbkreis konstruiert werden kann, dann wird das sofort klar (vgl. Abbildung 1). [1]

Abbildung 1: Konstruktion rechtwinkliger Dreiecke mit derselben Hypothenusenlänge
Quelle: Von MartinThoma - Eigenes Werk, CC0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=36277185

Die Frage an sich ist bereits hinreichend beantwortet worden. Hier stelle ich nun eine alternative Methode vor, die sicher funktioniert (das habe ich überprüft), aber nicht ganz ernst gemeint ist. An sich ist das ein Scherz auf gewisse Vorgehensweisen bei Menschen, die (wie ich) keine Mathematiker sind, aber mit Statistik zu tun haben. Die gucken nämlich immer in Tabellen, insbesondere in die z-Werte-Tabelle für die Standardnormalverteilung.

Ansatz

Bei einer annähernd normalverteilten Variablen können alle x-Werte in z-Werte transformiert werden. Die z-Werte gehören zur Standardnormalverteilung, die dadurch definiert ist, dass ihr Mittelwert 0 und ihre Standardbweichung 1 ist.

Auf ähnliche Weise kann nun ein rechtwinkliges Standarddreieick definiert werden, bei dem die Hypotenuse die Länge 1 und deshalb das Hypotenusenquadrat die Fläche 1 hat (siehe Abbildung 2).

Abbildung 2: Das rechtwinklige Standarddreieck

Die Werte, die zu der Verteilungsfunktion des rechtwinkligen Standarddreiecks gehören, werden zu Ehren von Pytagoras py-Werte genannt (sprich: pü-Werte). Da \(c_{\textrm{py}}^{2}=1\) ist, gilt auch Formel  (1).

$$a_{\textrm{py}}^{2}+b_{\textrm{py}}^{2}=1 \tag{1}$$

Da auch \(c_{\textrm{py}}=1\) ist, kann die Summe der Kathetenlängen nach Formel (2) in py-Werte transformiert werden.

$$a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}=\frac{{\displaystyle a+b}}{{\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}}}=\frac{{\displaystyle a+b}}{{\displaystyle \sqrt{c^{2}}}}=\frac{{\displaystyle a+b}}{{\displaystyle c}} \tag{2}$$

Zu jedem Paar von \(a_{\textrm{py}}^{2}\) und \(b_{\textrm{py}}^{2}\) (die zusammen immer 1 ergeben) gehört ein py-Wert, der die Summe der Kathetenlängen im rechtwinkligen Standarddreieck angibt. Dieser py-Wert kann über Formel (3) bestimmt werden.

$$a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}=\sqrt{a_{\textrm{py}}^{2}}+\sqrt{b_{\textrm{py}}^{2}} \tag{3}$$

Wenn \(a_{\textrm{py}}^{2}\) (\(b_{\textrm{py}}^{2}\) ergibt sich automatisch aus \(a_{\textrm{py}}^{2}\)) mit \(a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}\) in Beziehung gesetzt wird, dann ergibt sich die Verteilungsfunktion des rechtwinkligen Standarddreiecks. diese Funktion hat klare Grenzen. Wenn \(a_{\textrm{py}}^{2}\) auf der x-Achse und \(a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}\) auf der y-Achse abgetragen werden, dann bewegt sich die Funktion auf der x-Achse zwischen 0 und 1 und auf der y-Achse zwischen 1 und \(\sqrt{2}\). Dabei wird bei \(a_{\textrm{py}}^{2}=0,5\) das Maximum von \(a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}\) erreicht, nämlich \(\sqrt{2}\). [2] Davor ist die Funktion streng monoton steigend, während sie danach streng monoton fallend ist. Siehe dazu Abbildung 3.

Abbildung 3: Verteilungsfunktion des rechtwinkligen Standarddreiecks

Bei der Verteilungsfunktion des rechtwinkligen Standarddreiecks wird nur \(a_{\textrm{py}}^{2}\) auf der x-Achse in Beziehung zu \(a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}\) auf der y-Achse betrachtet. Wenn \(a_{\textrm{py}}^{2}\) gleich \(x\) und  \(a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}\) gleich \(y\) gesetzt wird, kann aus den Formeln (1) und (3) die Funktionsgleichung (FG) abgeleitet werden.

$$y=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\tag{FG}$$

Vorgehensweise

Um das eingangs erklärte Problem zu lösen, wird wie folgt vorgegangen:

• Zunächst wird die Summe der Kathetenlängen nach Formel (2) in den entsprechenden py-Wert transformiert.
• Dann wird in einer Tabelle, die die Verteilungsfunktion des rechtwinkligen Standarddreiecks wiedergibt, dieser py-Wert (oder einer, der möglichst nahe am errechneten Wert liegt) aufgesucht und entweder der Wert für \(a_{\textrm{py}}^{2}\) oder der für \(b_{\textrm{py}}^{2}\) abgelesen. [3]
• Wenn \(a_{\textrm{py}}^{2}\) genommen worden ist, dann wird dieser Wert nach Formel (4) wieder in \(a\) zurücktransformiert. Bei \(b_{\textrm{py}}^{2}\) wird entsprechend vorgegangen.

$$a=\sqrt{a_{\textrm{py}}^{2}}\cdot \sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{a_{\textrm{py}}^{2}}\cdot \sqrt{c^{2}}=\sqrt{a_{\textrm{py}}^{2}}\cdot c \tag{4}$$

Beispiel

Gegeben ist:

• \(a+b=14\)
• \(c^{2}=100\)

Berechnung des py-Werts von \(a+b\):

\(a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}=\frac{14}{\sqrt{100}}=\frac{14}{10}=1,4\)

Aufsuchen des Tabellenwerts:

An der Stelle \(a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}=1,4\) ist nach Tabelle \(a_{\textrm{py}}^{2}=0,36\)

Zurücktransformieren des Tabellenwerts:

Nach Formel (4) ist:

\(\sqrt{0,36}\cdot \sqrt{100}=\sqrt{0,36}\cdot 10=0,6 \cdot 10 = 6\)

Bestimmung von \(b\):

\(b=(a+b)-a=14-6=8\)

Nachzutragen ist, dass auch \(a=8\) und \(b=6\) sein kann (wegen der Symmetrie der Verteilungsfunktion des rechtwinkligen Standarddreiecks).

Was ist, wenn der errechnete py-Wert für \(a+b\) nicht in der Tabelle steht?

Dann sollte ein möglichst nahe am errechneten Wert liegender Tabellenwert genommen und zurücktransformiert werden. Da die Abweichung, die es dann vom echten Wert \(a\) bzw. \(b\) gibt, nur sehr klein ist, kann derselbe leicht »erraten« werden. Sollte der zurücktransformierte Wert so etwas sein wie x,999[irgendwelche weiteren Nachkommastellen], dann ist es ratsam, sein Glück mit x,0 +1 zu versuchen. In den meisten Fällen dürfte damit die Aufgabe bereits gelöst sein.

Selbstverständlich kann versucht werden, den exakten Wert von \(a_{\textrm{py}}^{2}\) oder \(b_{\textrm{py}}^{2}\) zu interpolieren. Das ist allerdings eine diffizile Angelegenheit. Eine einfache lineare Interpolation bringt zwar eine leicht bessere Approximation an den wahren Wert, wird denselben aber nie exakt treffen. Das hat den einfachen Grund, dass die Verteilungsfunktion des rechtwinkligen Standarddreiecks eben nicht linear ist, wie aus Abbildung 3 sofort klar wird. Dieser Umstand wird durch Abbildung 4 verdeutlicht.

Abbildung 4: Fehler durch lineare Interpolation

Eine korrekte Interpolation muss dagegen die Verteilungsfunktion des rechtwinkligen Standarddreiecks berücksichtigen. Soll \(a\) bestimmt werden, sind daher die Berechnungsschritte in Tabelle 1 durchzuführen. Bei der Bestimmung von \(b\) wäre analog vorzugehen. Zu ergänzen wäre, dass im Bereich \(a_{\textrm{pi}}^{2}>0,5\) \(a\) den Wert von \(b\) und \(b\) den Wert von \(a\) annimmt.

Tabelle 1: Interpolationsschritte zur Bestimmung von \(a\)
\(
\begin{array}{ll}
\hline
\textrm{Schritt} & \textrm{Berechnung}\\
\hline a+b & \textrm{bekannt}\\
c & \textrm{bekannt}\\
a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}} & \frac{{\displaystyle a+b}}{{\displaystyle c}}\\
a_{\textrm{py (Tab1)}}^{2} & \textrm{kleinerer Tabellenwert von }a_{\textrm{py}}^{2}\\
a_{\textrm{py (Tab2)}}^{2} & \textrm{größerer Tabellenwert von }a_{\textrm{py}}^{2}\\
a_{\textrm{py (Tab1)}} & \sqrt{a_{\textrm{py (Tab1)}}^{2}}\\
a_{\textrm{py (Tab2)}} & \sqrt{a_{\textrm{py (Tab2)}}^{2}}\\
\left(a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}\right)_{\textrm{Tab1}} & \textrm{kleinerer Tabellenwert von }a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}\\
\left(a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}\right)_{\textrm{Tab2}} & \textrm{größerer Tabellenwert von }a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}\\
\textrm{Differenz 1 }\left(a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}\right) & \left(a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}\right)-\left(a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}\right)_{\textrm{Tab1}}\\
\textrm{Differenz 2 }\left(a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}\right) & \left(a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}\right)_{\textrm{Tab2}}-\left(a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}\right)_{\textrm{Tab1}}\\
\textrm{Relation} & \frac{{\displaystyle \textrm{Differenz 1 }\left(a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}\right)}}{{\displaystyle \textrm{Differenz 2 }\left(a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}\right)}}\\
\textrm{Differenz Tabellenwerte }\left(a_{\textrm{py}}\right) & a_{\textrm{py(Tab2)}}-a_{\textrm{py(Tab1)}}\\
\textrm{Summand }\left(a_{\textrm{py}}\right) & \textrm{Differenz Tabelenwerte}\left(a_{\textrm{py}}\right)\cdot\textrm{Relation}\\
a_{\textrm{py}} & a_{\textrm{py (Tab1)}}+\textrm{Summand}\left(a_{\textrm{py}}\right)\\
a & a_{\textrm{py}}\cdot c
\\\hline \end{array}
\)

Das ist die mathematisch richtige Form der Interpolation. Durch die Genauigkeitsgrenzen der Tabelle der Verteilungsfunktion des rechtwinkligen Standarddreiecks sind auch Genauigkeitsgrenzen des Interpolationswertes für \(a\) gegeben. Die Genauigkeit der Tabelle der Verteilungsfunktion des rechtwinkligen Standarddreiecks wird von zwei Faktoren bestimmt.

Der erste Faktor ist die Anzahl der Nachkommastellen von \(a_{\textrm{py}}^{2}\) bzw. \(b_{\textrm{py}}^{2}\). So entspricht zum Beispiel in der Tabelle der Wert 0,1234 für \(a_{\textrm{py}}^{2}\) dem Wert 1,287552553 für \(a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}\) und der Wert 0,1235 dem Wert 1,287641455 für \(a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}\). Wenn für \(a_{\textrm{py}}^{2}\) bzw. \(b_{\textrm{py}}^{2}\) nicht vier sondern fünf Nachkommastellen verwendet würden, dann stünden zwischen diesen beiden Werten neun weitere, wie der Ausdruck (5) zeigt.

$$\begin{array}{ll}
0,1234 & 1,287552553\\
0,1235 & 1,287641455
\end{array}
\begin{cases}
0,12341 & 1,287561446\\
0,12342 & 1,287570339\\
0,12343 & 1,287579230\\
0,12344 & 1,287588121\\
0,12345 & 1,287597012\\
0,12346 & 1,287605902\\
0,12347 & 1,287614791\\
0,12348 & 1,287623679\\
0,12349 & 1,287632567 \tag{5}
\end{cases}$$

Diese Art der Ungenauigkeit der Tabelle kann durch eine korrekte Interpolation behoben werden. Aber es gibt noch einen weiteren Faktor. Der Wert für \(a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}\) wird nach Formel (3) berechnet. Darin kommen zwei Quadratwurzeln vor. Das führt dazu, dass die meisten Werte für \(a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}\) irrational sind, das heißt unendlich viele Nachkommastellen haben. [4] In einer Tabelle können aber nur endlich viele Nachkommastellen aufgeführt werden, so dass immer eine gewisse Ungenauigkeit bleibt. Auch bei mathematisch korrekter Interpolation.

Auf der anderen Seite könnte der Wert von \(a_{\textrm{py}}^{2}\) auch direkt durch Umstellung der Funktionsformel (FG) nach x berechnet werden, ohne die Tabelle der Verteilungsfunktion des rechtwinkligen Standarddreiecks zu Hilfe zu nehmen. Da für jeden y-Wert (also \(a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}\)) zwei Werte auf der x-Achse (\(a_{\textrm{py}}^{2}\)) existieren (einer links von x=0,5 und einer rechts von x=0,5), gibt es auch zwei nach x aufgelöste Formeln, nämlich (6) und (7). [5]

\begin{eqnarray}
(6)\qquad{}x_{1} & = & \frac{{\displaystyle 1-\sqrt{2y^{2}-y^{4}}}}{{\displaystyle 2}}\\
(7)\qquad{}x_{2} & = & \frac{{\displaystyle 1+\sqrt{2y^{2}-y^{4}}}}{{\displaystyle 2}}
\end{eqnarray}

Aber das wäre ja zu einfach.

Anmerkungen

[1]
Siehe dazu auch hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Thales

[2]
Wenn \(a_{\textrm{py}}^{2}\) den Wert 0,5 annimmt, dann nimmt auch \(b_{\textrm{py}}^{2}\) den Wert 0,5 an. Dann gilt Gleichung (3a).

$$a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}=\sqrt{a_{\textrm{py}}^{2}}+\sqrt{b_{\textrm{py}}^{2}}=\sqrt{0,5}+\sqrt{0,5}=2\cdot \sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2} \tag{3a}$$

Siehe dazu auch:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2+%5Ccdot+sqrt%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D

[3]
Eine entsprechende Tabelle findet sich hier:

https://1drv.ms/b/s!AhSmXwQDkCvagfgK0cMvq4i0ttjQbQ?e=cuTetV

[4]
Eine Ausnahme bilden die Fälle, in denen \(a\), \(b\) und \(c\) alle ganzzahlig sind, wie 3 und 4 für \(a\) und \(b\) und 5 für \(c\). Hier ist \(a_{\textrm{py}}+b_{\textrm{py}}\) genau 1,4.

[5]
Vgl. dazu https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%3D%3F+if+y%3D%5Csqrt%7Bx%7D%2B%5Csqrt%7B1-x%7D