Ganzrationale Funktionen Nullstellen

Erste Frage Aufrufe: 70     Aktiv: 14.04.2022 um 15:43

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Es heißt ja, dass eine Ganzrationale Funktion n-ten Grades höchstens n nullstellen hat. Eine von dritten grade hat also höchstens 3. Heißt das, dass eine Funktion dritten Grades mit 2 nullstellen dann automatisch eine doppelte nullstelle und eine einfache nullstelle hat? Und demnach eine Funktion dritten Grades mit einer nullstelle eine dreifache nullstelle (gibt es das überhaupt?)?
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Nein, das lässt sich so pauschal nicht beantworten (auch nicht für Funktionen höheren Grades), denn der Begriff Nullstellen bezieht sich in diesem Fall auch auf komplexe Nullstellen (das geht über den Schulstoff hinaus). Betrachte zum Beispiel $f(x)=x^3+1$ mit der einfachen Nullstelle $x=-1$. Eine dreifache Nullstelle ist möglich, nämlich $f(x)=x^3$ selbst. Wenn eine Funktion dritten Grades nur zwei Nullstellen hat, dann muss eine Nullstelle eine doppelte Nullstelle sein, denn die oben genannten komplexen Nullstellen treten immer in Paaren auf, das bedeutet, dass es nie nur eine komplexe Nullstellen geben kann.
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eine dreifache Nullstelle gibt es, aber es könnte auch nur eine einfache Nullstelle sein, wenn die Kurve entsprechend verschoben wurde (eine Nullstelle hat eine Funktion 3. Grades aber mindestens. Und eine 2. Grades könnte keine, eine (doppelte) oder 2 Nullstellen haben.

Am besten zu skizzierst dir typische Verläufe (ggf.auch mit Geogebra) und zeichnest die x-Achse an verschiedenen Stellen ein, dann siehst du es.

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