Summenwert bzw. Grenzwert einer Reihe mit Fakultäten berechnen

Aufrufe: 337     Aktiv: 11.01.2023 um 13:09
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Die Reihe

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{(2k)!}{k! \cdot (k+1)! \cdot 2^{2k+1}} \cdot  x^{2(k+1)} = \dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{8}x^{4}+\dfrac{3}{48}x^{6}+\dfrac{15}{384}x^{8}+\dfrac{105}{3840}x^{10}+...\)

konvergiert für |x| < 1 .

Ich möchte die Reihensumme für ein beliebiges 0< x < 1 berechnen.

Die Reihe ist auf den ersten Blick keine geometrische oder eine ähnliche bekannte Reihe. Ich habe zunächst versucht, die Fakultäten zu kürzen, allerdings hat das die Sache eher noch komplizierter gemacht.

Wie kann man hier herangehen, um den Grenzwert zu berechnen? Mir fehlt irgendwie der Ansatz. Ein Bekannter sagte mir, wenn Fakultäten im Nenner stehen, dann sieht das oft nach e-Funktion aus.

Wahrscheinlich muss man hier an der richtigen Stelle das Richtige ausklammern, aber wie?

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Die Frage verstehe ich nicht. Was wäre wenn es kein Spaß ist?   ─   userfe9053 10.01.2023 um 16:25
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1 Antwort
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Die Frage, ob das aus Spaß berechnet wird, resultiert daher, dass es eben nicht trivial ist, derartige Grenzwerte zu berechnen. Daher ist der Ursprung dieser Reihe interessant. 

WolframAlpha liefert als Grenzwert übrigens den Ausdruck $-\sqrt{1-x^2}+1$, also den Graphen des unteren Halbkreises mit dem Mittelpunkt $(0,1)$.
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Danke für die Antwort.
Ja, das mit WolframAlpha habe ich auch schon probiert, aber das ist ja nicht sehr lehrreich, einfach fertige Ergebnisse präsentiert zu bekommen. Machen zwar heute die Schulen gern, aber ich möchte doch gern verstehen, was genau passiert.
Und so eine (nicht alltägliche) Grenzwertberechnung ist schon interessant.
Eigentlich möchte ich ja nur wissen, wie man da genau rangehen sollte.   ─   userfe9053 11.01.2023 um 10:09
Es kann durchaus lehrreich sein, sich "Inspiration" zu holen, wenn man weiß, was man tut. Möglicherweise kann man hier irgendwas mit der Potenzreihe der Wurzel machen. Immerhin kommt ja ein Wurzelausdruck heraus. Ansonsten wie schon gesagt, solche Reihen sind im Allgemeinen nicht "mal eben" so berechnet. Und sicherlich, interessant ist das auf jeden Fall. Ich war jedenfalls überrascht, dass das die Potenzreihe für den unteren Halbkreis ist, wüsste jetzt auf Anhieb aber auch nicht, wie ich da vorgehen soll. Mathematik hat einfach auch viel mit Ausprobieren zu tun und die Dinge zu benutzen, die man vielleicht schon kennt. Daher ist bei solchen Aufgaben immer auch der Hintergrund wichtig.   ─   cauchy 11.01.2023 um 13:09

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