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Für alle \(a\in\mathbb{R}\) gilt \(x^a<e^{\frac{1}{2}x}\) für ein hinreichend großes \(x\), da \(x^a\) ja ein Polynom, aber \(e^{\frac{1}{2}x}\) eine Exponentialfunktion ist. Bezeichne die Zahl, ab der dies gilt mit \(c(a)\). Dann gilt
\(\int_4^\infty e^{-x}x^adx\leq\int_4^{c(a)}e^{-x}x^adx+\int_{c(a)}^\infty e^{-\frac{1}{2}x}dx<\infty\)
da das zweite Integral ja konvergiert. Also gilt die Aussage für alle \(a\in\mathbb{R}\).
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benesalva
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