Offene Kugel einer Metrik zeichnen

Erste Frage Aufrufe: 213     Aktiv: 13.04.2022 um 19:10

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Hallo ihr Lieben,
ich habe hier folgende Metrik gegeben: $d(x,y) = \sqrt {|x_1-y_1|} + |x_2-y_2|$ mit $M = \mathbb{R}^2$ und $x=(x_1,x_2), y=(y_1,y_2)$ (Das es sich tatsächlich um eine Metrik handelt, habe ich vorher bewiesen). Jetzt soll ich eine offene Einheitskugel $B_1(0)$ skizzieren. Der Ausdruck wurde wie folgt definiert: $B_r(m):=\{x \in M | d(m,x) < r \}$.

Ich habe mir mal verschiedene Einheitskreise/kugeln von der Betragsmetrik/Euklidischen Metrik/Maximumsmetrik angeschaut und in verschiedenen Foren Sachen dazu durchgelesen, wie man sowas vernünpftigt skizzieren kann, aber irgendwie hilft mir das nicht wirklich weiter.

Was die Aufgabe von mir will, ist dass ich um den Nullpunkt ein Einheitskreis mit dem Radius 1 zeiche, aber ich bräuchte hilfe dabei herauszufinden, welche Form denn dieser Kreis überhaupt annehmen soll, bzw. wie ich an Koordinaten für Eckpunkte rankomme. Kann man sich sowas eigentlich irgendwo plotten lassen?

Ich bedanke mich für jede Form der Hilfe.
~Bene
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Der erste Punkt ist ja $(0,0)$. Nenne den zweiten Punkt $(x,y)$, dann erhälst Du eine Gleichung $d((0,0),(x,y))=1$ für die Einheitskreislinie. Wenn Du diese nach $y$ umstellst, erhälst Du eine ganz normale Funktion $y=f(x)$, deren Graph man zeichnet. Natürlich sind dabei 4 Fälle zu unterscheiden. Der Rand des Einheitskreises setzt sich also aus 4 Teilgraphen zusammen.
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Klingt erstmal ganz einleuchtend, habe jetzt die Funktionen:
$1-\sqrt x$
$-1+\sqrt x$
$1-\sqrt -x$
$-1+\sqrt x$

Wenn ich mir das alles plotten lasse ( https://www.geogebra.org/calculator/uhvs7jjv ), kommt da auch was raus, was durchaus wie eine Lösung aussehen könnte. Was mich interessiert, ob man sowas auch noch allgemein prüfen kann, wenn ich das z.B. jetzt mal nicht vor Augen habe?
  ─   bene.id3x 12.04.2022 um 15:03

Der Plot ist ok, aber es muss natürlich für $|x|>1$ abgeschnitten werden. Du siehst hier übrigens auch, dass die Kenntnis der Eckpunkte gar nicht helfen würde.
Ohne Software kannst Du das nicht so einfach prüfen. Und ob Deine Eingabe stimmt, sagt Dir die Software ja auch nicht. Du kannst bei geogebra auch die Gleichung mit Beträgen eingeben und erhälst direkt den Plot, ohne dass Du selbst die Fallunterscheidungen machen musst.
  ─   mikn 12.04.2022 um 15:14

Ja der Plot war nur auf das "Innenleben" bezogen. Vielen Dank für deine Hilfe :D   ─   bene.id3x 12.04.2022 um 15:17

Gerne. Das Umschreiben auf den Graphen einer Funktion funktioniert übrigens für jede Norm und auch im R^3. Kann natürlich u.U. etwas mühselig werden, aber prinzipiell geht das immer.
  ─   mikn 12.04.2022 um 15:20

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Da gebe ich dir vollkommen Recht. :) Besonders, weil es auch eine erste Frage ist!   ─   cauchy 12.04.2022 um 18:41

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