Integral mit Substitution

Aufrufe: 68     Aktiv: 26.09.2021 um 07:01

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Hallo, 

habe folgendes Integral: 

\(\int_{0}^{\sqrt{\pi}}2xsin(x^2+pi)dx\)

Mein Ansatz: 

\(z = x^2\)
\(dx = \frac{dz}{2x}\)
\(z = \sqrt{\pi}^2 = \pi\) -> Neue Integralgrenze

\(\int_{0}^{\pi}-2xsin(z^2)\frac{dz}{2x}\) -> \(-\int_{0}^{\pi}sin(z^2)dz\) -> \(-[sin(z^2)]\) -> \(cos(\pi^2) = 1\) 

Lösung wäre aber -2, wo hab ich den Fehler?
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du musst \(Z=x^2+\pi\) substituieren   ─   fix 25.09.2021 um 20:45
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Da geht einiges durcheinander. Man kann $z=x^2$ substituieren. Dann hat man:
$\int\limits_0^\sqrt\pi 2x\sin(x^2+\pi)dx = \int\limits_0^\pi 2x\sin(z+\pi)\frac{dz}{2x} = \int\limits_0^\pi \sin(z+\pi)dz =
  \int\limits_0^\pi -\sin(z)dz=...=-2$.
Etwas einfacher wäre es, wenn man $z=x^2+\pi$ substituiert.
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Wie kommt man vom letzten Schritt auf -2?

\(\int_0^{\pi}-sin(z)dz = [cos(z) + C ] = cos(x^2) + C = cos(\pi^2) + C = -0.902\) Keine Ahnung, wie ich da vorhin auf 1 gekommen bin.
  ─   universeller 25.09.2021 um 21:58

du hast vergessen, dass die Grenzen geändert wurden: \(cos(\pi)-cos(0)=-1-1=-2\)   ─   fix 25.09.2021 um 22:12

Wir haben substituiert - nun ist es ein Integral mit der Variablen z und mit x haben wir nichts mehr zu tun.   ─   mikn 25.09.2021 um 22:57

Jetzt hab ichs. Ich hab die 0 Grenze gar nicht mehr beachtet... Danke euch!   ─   universeller 26.09.2021 um 07:01

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