Polynom als Vektor schreiben

Aufrufe: 163     Aktiv: 05.06.2022 um 16:35

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Wie schreibe ich das Polynom x^3-1 als Vektor und erkläre das dann auch mathematisch korrekt.
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Ja du musst erstmal eine Basis wählen, man nimmt meistens \((1,X,X^2,\ldots)\) und dann bildet du eine Linearkombination aus diesen und schreibst Koeffizienten in eine Spaltenvektor/Zeilenvektor
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Ich habe jetzt wohl zu früh gedacht mit dieser Antwort klar zu kommen. Konkret geht es um folgendes Polynom:
T^3-1, als Vektor müsste es wohl (1 0 0 -1) untereinander heißen. Wenn ich dass so mache, dann müsste ich genau erklären, wie ich genau da hinkomme. Das fehlt mir jetzt .
  ─   atideva 05.06.2022 um 10:59

Erstmal müssen wir über den Vektorraum sprechen, ich nehme an, es sind Polynom Grad kleiner 4. Dann müssen wir eine Basis wählen, ich habe dir \((1,T,T^2,T^3)\) vorgegeben du hast jetzt \(B=(T^3,T^2,T,1)\) genommen, das geht natürlich auch. Die Begründung ist ganz einfach, es ist \(T^3-1=1\cdot T^3+\cdot 0\cdot T^2+0\cdot T +(-1)\cdot 1\), es ist also \(\Phi_B^{-1}(T^3-1)=(1,0,0,-1)\), wobei \(\Phi_B: K^4 \to K[T]_{\leq3}, (\lambda_1,\ldots, \lambda_4)\mapsto \lambda_1T^3+\ldots +\lambda_4\), aber vorsicht meist ist Basis andersherum (so wie ich geschrieben habe)   ─   mathejean 05.06.2022 um 11:52

Da ich die Frage heute auch an der Fernuni gestellt habe, bekam ich ausnahmsweise heute direkt Antwort von der Kursbetreuung. die lautete : das richtige Stichwort ist "Koordinatenvektor". Der Koordinatenvektor von T^3-1 bezüglich der Basis (T^3, T^2, T, 1) ist (1 0 0 -1) letzteres untereinander.   ─   atideva 05.06.2022 um 16:31

Das ist genau, dass was ich geschrieben habe, man nennt \(\Phi_B\) oft den Koordinatenisomorphismus   ─   mathejean 05.06.2022 um 16:35

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