Lineare Abbildung und Abbildungsmatrix

Aufrufe: 982     Aktiv: 06.01.2021 um 14:01
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Hallo,

ich bin echt verzweifelt. Und zwar geht es um Abbildungsmatrizen.

Die Aufgabe lautet:

Wir betrachten den Raum ∏2(0,1) := {p: (0,1) → ℝ | p(x) = α0 + α1x + α2x2 ,  α0,α1,α2 ∈ ℝ} und die Abbildung φ(u) : ∏2(0,1) → ℝ
                                   u ↦∫01 u(x) * x² dx

 

a) Warum ist die Abbildung linear?

b) Geben Sie die Abbildungsmatrix M von φ bzgl. der Monombasis {1, x, x2} von ∏2 und der Standardbasis von ℝ2.

Ich habe mich nun schon durch jegliche Unterlagen und Internetseiten druchgekämpft, doch finde immernoch keine passenden Antworten.

Bin für jegliche Hilfe dankbar.

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Student, Punkte: 37

 
Was musst du denn überprüfen, um zu zeigen, dass eine Abbildung linear ist?   ─   stal 10.12.2020 um 11:34
Eine Möglichkeit ist es doch, sie mit der Additivität und der Homogenität zu zeigen? Doch wie ich diese in diesem Fall mit α löse, weiß ich nicht.   ─   ano nym 10.12.2020 um 12:29
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1 Antwort
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Prüfe einfach ob \(\varphi(u+\alpha v) = \varphi(u) + \alpha \varphi(v) \) gilt, das lässt sich sehr schnell mithilfe der Linearität des Integrals zeigen. Um die Abbildungsmatrix zu bestimmen, setz einfach die Basisvektoren in die Abbildung ein. Die Bilder der Basisvektoren bilden gerade die Spalten deiner Abbildungsmatrix, in diesem Fall bekommst du also eine 1x3 Matrix raus
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