Könnt ihr mir helfen?

Aufrufe: 1012     Aktiv: 16.04.2020 um 11:42

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Gegeben seien zwei Punkte C und F, die auf den Seiten AE bzw. BD eines Parallelogramms AEBD liegen. Mit M und N seien die Schnittpunkte von CD mit FA sowie EF mit BC bezeichnet. Die Gerade MN soll DA in P und EB in Q schneiden. Man beweise nun, dass AP = BQ gilt. Ich denke das man es mithilfe des strahlensatzes beweisen kann. Aber ich weiß nicht wie.
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Ist das eine Wettbewerbsaufgabe?   ─   digamma 15.04.2020 um 15:44

Nein eine übungsaufgabe   ─   anonym3630b 15.04.2020 um 16:26

Das ist kein einfaches Problem, wo man einmal kurz den Strahlensatz anwendet und fertig. Momentan sehe ich keinen "schönen" geometrischen Weg, sondern würde das ganze in ein Koordinatensystem legen und durchrechnen. Es wäre gut, ein bisschen über deinen Hintergrund zu wissen. Studierst du? Was habt ihr zuletzt gemacht?   ─   sterecht 15.04.2020 um 16:48

Ich studiere Mathe auf Lehramt und wir haben momentan Geometrie   ─   anonym3630b 15.04.2020 um 18:15

Wenn die Aussage richtig ist, dann muss die Gerade MN durch den Mittelpunkt des Parallelogramms gehen. Umgekehrt folgt daraus die Aussage. Versuch mal, ob du das beweisen kannst.   ─   digamma 15.04.2020 um 18:24

Man muss irgendwie den Satz von Pappos verwenden   ─   anonym3630b 15.04.2020 um 20:28

ein Parallelogramm ist ja puntksymetrisch. Wenn man also beweist, dass PQ zum symetriezentrum des Parallelogramms punktsymetrisch ist, wäre es doch auch bewiesen   ─   derpi-te 15.04.2020 um 20:42
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Danke für den Tipp mit dem Satz von Pappos (vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Pappos). Dieser sagt hier, dass auch der Schnittpunkt der Strecken DE und AB auf der Geraden MN liegt. Die Strecken AB und DE sind aber gerade die Diagonalen des Parallelogramms und ihr Schnittpunkt Z ist der Mittelpunkt des Parallelogramms. Die Behauptung folgt dann entweder mit Symmetrieüberlegungen (das Parallelogramm ist punktsymmetrisch zum Mittelpunkt) oder mit dem Strahlensatz mit Zentrum Z, den Strahlen AB und MN und den parallelen Geraden AD und EB.

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Das mit dem satz von Pappos hab ich verstanden, aber wie man jetzt den beweis aufschreibt weiß ich nicht   ─   anonym3630b 15.04.2020 um 20:53

Was ist dir noch unklar? Der zentrale Punkt ist, dass der Diagonalenschnittpunkt Z auf der Geraden MN liegt. Jetzt kannst du den Strahlensatz mit Zentrum Z und den Strahlen AB und PQ anwenden. Da die Strecke AZ gleichlang ist wie ZB, ist auch AP gleichlang wie BQ. (Mit andern Worten: Die Dreiecke AZP und BZQ sind kongruent.   ─   digamma 15.04.2020 um 20:59

Danke :)   ─   anonym3630b 16.04.2020 um 11:42

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