Irreduzibilität

Aufrufe: 113     Aktiv: 15.12.2023 um 01:32

0
Ist X^6 über Z/3Z[X] irreduzibel?

Ich hab das alles noch nicht ganz verstanden mit der Irreduzibilität, aber ich kann ja X^6 in X^2 und X^4 zerlegen oder und damit wäre es dann reduzibel.

Das Problem ist, dass es für meine Aufgabe eigentlich irreduzibel sein muss, weil X^6 das reduzierte Polynom von X^6 - 9X^4 - 6X^3 + 27X^2 - 54X - 18 ist (mit dem Reduktionskriterium und p=3). Und dieses Polynom (also das nicht-reduzierte) ist das Minimalpolynom von (Wurzel 3 + dritte Wurzel 3), weshalb es irreduzibel sein müsste (das soll ich in der Aufgabe zeigen). 

Pls send help.
Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 79

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Das Reduktionskriterium ist nur ein hinreichendes Kriterium. Ist das reduzierte Polynom irreduzibel, so ist auch das ursprüngliche Polynom irreduzibel. Ist jedoch das reduzierte Polynom reduzibel (so wie in deinem Fall), lässt sich keine Aussage zur Irreduzibilität des ursprünglichen Polynoms treffen.

Tatsächlich würde ich hier mit etwas Körpertheorie argumentieren.

Sei \( L := \mathbb{Q}(\sqrt{3}+\sqrt[3]{3}) \). Offensichtlich sind \( L \), \( L(\sqrt{3}) \) und \( L(\sqrt[3]{3}) \) Teilkörper von \( \mathbb{Q}(\sqrt[6]{3}) \). Aus

\( \sqrt[6]{3} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{3}} = \frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+\sqrt[3]{3})-\sqrt{3}} \in L(\sqrt{3}) \)

und

\( \sqrt[6]{3} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{3}} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt[3]{3})-\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3}} \in L(\sqrt[3]{3}) \)

folgt somit schon, dass \( L(\sqrt{3}) \) und \( L(\sqrt[3]{3}) \) gleich \( \mathbb{Q}(\sqrt[6]{3}) \) sind. Wir wollen nun einsehen, dass deshalb schon \( L = \mathbb{Q}(\sqrt[6]{3}) \) sein muss. Dazu betrachten wir die Polynome \( f = X^2 - 3 \) und \( g = X^3 - 3 \). Wären diese Polynome beide irreduzibel über \( L \), so wäre \( f \) das Minimalpolynom von \( \sqrt{3} \) über \( L \) und \( g \) wäre das Minimalpolynom von \( \sqrt[3]{3} \) über \( L \). Wir erhielten dann einerseits

\( [ \mathbb{Q}(\sqrt[6]{3}) : L ] = [ L(\sqrt{3}) : L ] = \deg(f) = 2 \)

und andererseits

\( [ \mathbb{Q}(\sqrt[6]{3}) : L ] = [ L(\sqrt[3]{3}) : L ] = \deg(g) = 3 \),

was ein offensichtlicher Widerspruch ist. Wenn nun aber \( f \) oder \( g \) reduzibel über \( L \) ist, so muss das entsprechende Polynom (aus Gradgründen) eine Nullstelle in \( L \) besitzen. Wegen \( L \subset \mathbb{R} \) kommen dafür nur die reellen Nullstellen \( \pm \sqrt{3} \) und \( \sqrt[3]{3} \) infrage. Liegt jedoch eines dieser Elemente in \( L \), so liegen bereits alle in \( L \). Wir folgern

\( L = L(\sqrt{3}) = \mathbb{Q}(\sqrt[6]{3}) \).

Nun können wir schließen, dass der Grad des Minimalpolynoms \( h \) von \( \sqrt{3}+\sqrt[3]{3} \) über \( \mathbb{Q} \) gleich \( 6 \) sein muss. Dazu stellen wir fest, dass das normierte Polynom \( X^6 - 3 \) (z.B. nach Eisensteinkriterium mit \(p=3\)) irreduzibel über \( \mathbb{Q} \) ist und definitionsgemäß \( \sqrt[6]{3} \) als Nullstelle besitzt, es ist also das Minimalpolynom von \( \sqrt[6]{3} \) über \( \mathbb{Q} \). Damit folgt nun

\( \deg(h) = [L : \mathbb{Q} ] = [ \mathbb{Q}(\sqrt[6]{3}) : \mathbb{Q} ] = \deg(X^6-3) = 6 \).

Da du ein normiertes Polynom vom Grad \( 6 \) über \( \mathbb{Q} \) gefunden hast, das \( \sqrt{3}+\sqrt[3]{3} \) als Nullstelle besitzt, muss dies bereits das Minimalpolynom von \( \sqrt{3}+\sqrt[3]{3} \) über \( \mathbb{Q} \) sein. Insbesondere ist das Polynom also tatsächlich irreduzibel, obwohl seine Reduktion über \( \mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z} \) zerfällt.
Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 7.02K

 

Kommentar schreiben