Das Reduktionskriterium ist nur ein hinreichendes Kriterium. Ist das reduzierte Polynom irreduzibel, so ist auch das ursprüngliche Polynom irreduzibel. Ist jedoch das reduzierte Polynom reduzibel (so wie in deinem Fall), lässt sich keine Aussage zur Irreduzibilität des ursprünglichen Polynoms treffen.

Tatsächlich würde ich hier mit etwas Körpertheorie argumentieren.

Sei \( L := \mathbb{Q}(\sqrt{3}+\sqrt[3]{3}) \). Offensichtlich sind \( L \), \( L(\sqrt{3}) \) und \( L(\sqrt[3]{3}) \) Teilkörper von \( \mathbb{Q}(\sqrt[6]{3}) \). Aus

\( \sqrt[6]{3} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{3}} = \frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+\sqrt[3]{3})-\sqrt{3}} \in L(\sqrt{3}) \)

und

\( \sqrt[6]{3} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{3}} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt[3]{3})-\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3}} \in L(\sqrt[3]{3}) \)

folgt somit schon, dass \( L(\sqrt{3}) \) und \( L(\sqrt[3]{3}) \) gleich \( \mathbb{Q}(\sqrt[6]{3}) \) sind. Wir wollen nun einsehen, dass deshalb schon \( L = \mathbb{Q}(\sqrt[6]{3}) \) sein muss. Dazu betrachten wir die Polynome \( f = X^2 - 3 \) und \( g = X^3 - 3 \). Wären diese Polynome beide irreduzibel über \( L \), so wäre \( f \) das Minimalpolynom von \( \sqrt{3} \) über \( L \) und \( g \) wäre das Minimalpolynom von \( \sqrt[3]{3} \) über \( L \). Wir erhielten dann einerseits

\( [ \mathbb{Q}(\sqrt[6]{3}) : L ] = [ L(\sqrt{3}) : L ] = \deg(f) = 2 \)

und andererseits

\( [ \mathbb{Q}(\sqrt[6]{3}) : L ] = [ L(\sqrt[3]{3}) : L ] = \deg(g) = 3 \),

was ein offensichtlicher Widerspruch ist. Wenn nun aber \( f \) oder \( g \) reduzibel über \( L \) ist, so muss das entsprechende Polynom (aus Gradgründen) eine Nullstelle in \( L \) besitzen. Wegen \( L \subset \mathbb{R} \) kommen dafür nur die reellen Nullstellen \( \pm \sqrt{3} \) und \( \sqrt[3]{3} \) infrage. Liegt jedoch eines dieser Elemente in \( L \), so liegen bereits alle in \( L \). Wir folgern

\( L = L(\sqrt{3}) = \mathbb{Q}(\sqrt[6]{3}) \).

Nun können wir schließen, dass der Grad des Minimalpolynoms \( h \) von \( \sqrt{3}+\sqrt[3]{3} \) über \( \mathbb{Q} \) gleich \( 6 \) sein muss. Dazu stellen wir fest, dass das normierte Polynom \( X^6 - 3 \) (z.B. nach Eisensteinkriterium mit \(p=3\)) irreduzibel über \( \mathbb{Q} \) ist und definitionsgemäß \( \sqrt[6]{3} \) als Nullstelle besitzt, es ist also das Minimalpolynom von \( \sqrt[6]{3} \) über \( \mathbb{Q} \). Damit folgt nun

\( \deg(h) = [L : \mathbb{Q} ] = [ \mathbb{Q}(\sqrt[6]{3}) : \mathbb{Q} ] = \deg(X^6-3) = 6 \).

Da du ein normiertes Polynom vom Grad \( 6 \) über \( \mathbb{Q} \) gefunden hast, das \( \sqrt{3}+\sqrt[3]{3} \) als Nullstelle besitzt, muss dies bereits das Minimalpolynom von \( \sqrt{3}+\sqrt[3]{3} \) über \( \mathbb{Q} \) sein. Insbesondere ist das Polynom also tatsächlich irreduzibel, obwohl seine Reduktion über \( \mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z} \) zerfällt.