Vorweg: Wir reden hier vom ersten Teil der Aufgabe (dem ersten Satz), da steht nichts von $U_0=10$ und $T=\frac\pi{20}$. Es ist also allgemein zu rechnen.
In Deiner Rechnung fehlt neben dem $dt$ (wichtig, ist keine Deko!) das $k$ im $\sin (k\omega t)$. Bei der Berechnung von $a_k$ auch schon. Das ist alles unübersichtlich und fehlerträchtig, ich blicke da nicht durch und musste dann doch selbst rechnen. Am Ende hast Du aber auch $(-1)^{k+1}$, schau mal genau hin, da ist noch ein minus von vorher.