Was ist hier falsch?

Aufrufe: 236     Aktiv: 25.03.2023 um 16:03

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Hey zusammen, wollte mal fragen, ob jemand hier meinen Fehler sieht, da mein Lösungsbuch mir -1/2*cos²(x)+C sagt
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1 Antwort
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Falsch ist nur, dass die =-Zeichen zwischen den umgeformten Termen fehlen.
Mach mit Deinem Ergebnis mal die Probe (durch Ableiten), und auch mit der aus dem Lösungsbuch. Nur die Probe klärt, welche Lösung richtig ist.
Was stellst Du fest?
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.17K

 

Beides ergibt das gleiche, falls ich mich nicht täusche   ─   usercc6121 25.03.2023 um 14:22

Gut. Also sind beide Lösungen richtig. Gewöhn Dir ruhig an beim Integrieren die Probe zu machen, besonders wo es in diesem Fall so einfach ist.
Kannst Du Dir das erklären, dass beide richtig sind, obwohl die ja anders aussehen? Wie unterscheiden sich zwei Stammfunktionen?
  ─   mikn 25.03.2023 um 14:24

Liegt es daran, dass man genauso gut auch cos(t) substituieren kann oder täusche ich mich da?   ─   usercc6121 25.03.2023 um 14:28

Das ist richtig, das würde auf das Ergebnis aus dem Lösungsbuch führen.
Aber denk mal ohne Rechenregeln: Wie unterscheiden sich zwei Stammfunktionen zur selben Ausgangsfunktion, generell?
  ─   mikn 25.03.2023 um 14:36

Würde mal raten durch die Konstante, kann aber nicht sagen wieso   ─   usercc6121 25.03.2023 um 14:40

Ja, genau (Beweis ist jetzt uninteressant, steht vielleicht in Deinen Unterlagen). Dann müssten sich ja die beiden Lösungen (Deine und die aus dem Buch) auch nur um eine Konstante unterscheiden (das +C zählt hier nicht, das ist ja nur eine Schreibweise).
Also: Ist $\frac12\sin^2(t)- (-\frac12\cos^2(t))$ konstant, also unabhängig von $t$? Wie lautet diese Konstante?
  ─   mikn 25.03.2023 um 14:50

Vielleicht von 1/2?   ─   usercc6121 25.03.2023 um 14:53

Ich hoffe Du hast hier nicht geraten, sondern gerechnet und eine Formel benutzt?   ─   mikn 25.03.2023 um 14:59

Hab es mit dem Taschenrechner gemacht, ist das schlimm?
  ─   usercc6121 25.03.2023 um 15:01

Erstmal finde ich es super, dass Du Dich auf diese Zusatzüberlegung (die ja nicht zur Aufgabe gehört) einlässt. Dabei lernst Du nämlich, dass Stammfunktionen ganz unterschiedlich aussehen können, obwohl sie beide richtig sind und sich (scheinbar!) nicht um eine Konstante unterscheiden.
Das i-Tüpfelchen wäre halt, wenn Du das an der Formel ohne TR siehst (zu rechnen ist da so gut wie nichts). Kennst Du eine Formel, in der $\sin^2$ und $\cos^2$ drin vorkommen?
  ─   mikn 25.03.2023 um 15:09

Vielleicht bei den goniometrische beziehungen, da war doch sin² + cos² = 1, oder nicht?   ─   usercc6121 25.03.2023 um 15:13

Genau! Diese Formel darf man ruhig auswendig kennen.
Fazit: Es kommt ab und zu mal vor, dass man auf versch. Rechenwegen versch. Stammfunktionen findet. Diese unterscheiden sich aber nur durch Konstanten, was man manchmal nicht direkt sieht (gerade wenn man's mit $\sin, \cos,\ln$ usw. zu tun hat). Das einfachste ist daher: Probe durch Ableiten machen.
Hast Du das verstanden?
  ─   mikn 25.03.2023 um 15:26

Ja, super, danke dir! Hab zwar noch Probleme beim Finden des Terms zum Substituieren, sollte aber durch ausreichend Übung gelöst werden.   ─   usercc6121 25.03.2023 um 15:31

Auch da hast Du recht: Substituieren ist zum großen Teil Übungssache. Das ist dann auch schonmal mit Fehlschlägen verbunden (man kriegt ein Integral nicht raus, weil man ungeschickt substituiert hat). Das macht aber nichts, weil zur Übung trägt's trotzdem bei.   ─   mikn 25.03.2023 um 15:40

Da machst du mir Hoffnung xD   ─   usercc6121 25.03.2023 um 16:03

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