Hallo,

Mengengleichungen $ A=B$ beweist man meistens dadurch, dass man zeigt das sowohl die linke Seite Teilmenge der rechten Seite ist ($A\subset B$) und das die rechte Seite Teilmenge der linken Seite ist ($B \subset A$).

Fang also so an
$$ A \cap (B \cup C) \subset (A \cap B) \cup (A \cap C) $$
Man zeigt so eine Teilmenge, indem man zeigt, dass für alle $x\in A \cap (B \cup C)$ auch $x \in ((A \cap B) \cup (A \cap C) )$ gilt. Also fang damit an, ein $x$ aus $A \cap (B \cup C)$ zu betrachten.

Grüße Christian