Koeffizienten bestimmen, so dass f differenzierbar ist

Aufrufe: 998     Aktiv: 16.01.2021 um 18:12

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Hallo

Ich soll die Koeffizienten a und b von f bestimmen, einmal so dass f stetig ist und anschließend die a,b bestimmen für die f auf allen reellen Zahlen differenzierbar ist. Nun habe ich als Ergebnis für die Stetigkeit, dass f dann stetig ist, wenn a = 6-b ist, also das b beliebig ist und a in Abhängigkeit von b gewählt wird. Darauf bin ich gekommen, indem ich den links-und rechtsseitigen Grenzwert gleichgesetzt habe und anschließend die Gleichung gelöst habe. Nun stehe ich aber auf dem Schlauch wegen der Differenzierbarkeit, also eigentlich muss ich ja nur Differenzierbarkeit in x =1 prüfen, da in allen anderen x f als Polynom ja differenzierbar ist. Laut Definition ist f ja dann in x differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten in x existiert. Ich verstehe aber nicht ganz wie ich bei x = 1 den Differenzenquotienten bilden kann, da je nachdem von welcher Seite man sich an x=1 nähert f ja unterschiedlich definiert ist. Ich habe nun überlegt, mir irgendwie den links- und rechtsseitigen Grenzwert von x = 1 anzuschauen, aber ich habe auch keine Ahnung was ich dann daraus schlussfolgern oder rechnen kann/muss. Zudem habe ich mir, nachdem ich verschiedene a, b mit meiner oben genannten "Formel" mal konkret bestimmt und eingesetzt habe, den Graphen von f anzeigen lassen und bei allen von mir probierten a, b hat f immer einen "Knick" bei f(1), also ist f zwar stetig aber nicht differenzierbar in x = 1 und damit auch nicht differenzierbar auf ganz R. Deswegen bin ich mir auch unsicher, ob mein Ergebnis für die Stetigkeit stimmt, oder ob f vielleicht auch generell nicht differenzierbar ist, in x = 1. 

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Dein Ergebnis für die Stetigkeit ist schon mal richtig. Für die Differenzierbarkeit musst du eigentlich ähnlich wie bei der Stetigkeit den links- und rechtseitigen Grenzwert gleichsetzen, nur eben nicht die Grenzwerte der Funktion, sondern die Grenzwerte der Ableitung. Dadurch erhälst du dann einen Wert für \(a\), den setzt du dann noch in \(a+b=6\) ein, um den richtigen Wert für \(b\) zu bestimmen.

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Danke dir erstmal für die Antwort.
Was ich aber noch nicht ganz verstehe, ist warum man bei der Differenzierbarkeit dann die Grenzwerte der Ableitung gleichsetzt, also klar ist die Ableitung der Grenzwert des Differenzenquotienten, aber ich schaffe es irgendwie grade nicht die Brücke von dem Differenzenquotienten zu den links- bzw. rechtsseitigen Grenzwerten zu schlagen.
Vielleicht könntest du nochmal kurz erwähnen was "dahinter steckt" ?
  ─   anonymc1cc3 15.01.2021 um 16:02

Damit \(f\) an der Stelle \(x=1\) differenzierbar ist, muss \(\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) existieren, insbesondere müssen der links- und rechtsseitige Grenzwert gleich sein. Der linksseitige Grenzwert ist aber genau die Ableitung der linearen Funktion an der Stelle \(x=1\), analog ist der rechtsseitige Grenzwert gerade die Ableitung der quadratischen Funktion an der Stelle. Damit die Ableitung also existiert, müssen diese beiden Werte gleich sein.   ─   stal 16.01.2021 um 18:12

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