DGL 1.Ordnung lösen

Aufrufe: 92     Aktiv: 04.12.2022 um 19:18

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Ich habe folgende Funktion gegeben:
y'+4xy=4x*e^(-2x^2)

Hier mein Lösungsweg:
Ansatz:
y'=f(x)*y+g(x)
y'=-4xy+4x*e^(-2x^2)

Dann habe ich zunächst die homogene Lösung bestimmt:
yh=c*e^(F(x))
mit F(x) als dem Integral von f(x)
yh=c*e^(-2x²)

Als nächstes dann die partikuläre Lösung
yp=yh*Integral(g(x)/yh)
Für das Integral habe ich dann folgendes raus:
1/c*2x²+k

Aus y=yh+yp

folgt dann
c*e^(-2x²)+c*e^(-2x²)*2x²/c +k
Das hab ich dann zusammengefasst zu
c*e^(-2x²)*(1+(2x²/c +k)

Die Lösung (das yp) scheint aber nicht zu stimmen.
Kann mir jemand helfen und zeigen, wo der Fehler liegt?


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Student, Punkte: 17

 
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1 Antwort
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Was heißt "scheint nicht zu stimmen"? Wie kommst Du darauf?
Das einzig relevante Kriterium ist die Probe: Einsetzen in die Dgl und schauen, ob sie mit dem $y_p$ erfüllt ist. Dein Ergebnis der Probe?
Dass es so kompliziert aussieht, liegt daran, dass Du stur in Formeln einsetzt. Wenn Du eine ordentliche Variation der Konstanten machen würdest, tritt das Durcheinander (mit den zwei Konstanten) gar nicht auf.
Die Lösung der hom. Dgl ist richtig (es ist aber nicht "die homogene Lösung", das ist was anderes, achte auf die Begriffe).
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Okay, danke
Also:
yh=c*e^(-2x²)

c zu c(x) setzten
y=c(x)* e^(-2x²)
y‘ bilden
y‘=c‘(x)*e^(-2x²)+c(x)*(-4)x*e^(-2x²)

y und y' in DGL einsetzten
kürzen
nach c‘(x) auflösen und integrieren
=> c(x)=2x²+k
in y einsetzen

y=(2x²+k)*e^(-2x²)
  ─   mathe4.0 04.12.2022 um 18:47

Jetzt bin ich (positiv) überrascht. Du kannst also Variation der Konstanten, dann bleib doch dabei. So ist es gut und der Ergebnis ist richtig.
Ob das nun aufwendiger war als in der Formel einsetzen (ganz zu schweigen von der Fehleranfälligkeit), kannst Du ja selbst beurteilen
  ─   mikn 04.12.2022 um 19:18

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