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Deine Unsicherheit ist begründet, denn Dein Beweis ist falsch. Du behauptest ja implizit, ohne das zu belegen, dass die Reihe sogar absolut konvergiert, also für die Beträge von \(f_n\). Gegenbeispiel dazu: \(f_n\equiv\frac{(-1)^n}{n}\), also alles konstante Funktionen. Die Reihe konvergiert gleichmäßig, aber nicht absolut.
Hast Du denn schon alle Voraussetzungen verwendet?
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slanack
Lehrer/Professor, Punkte: 4K
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sorry sehe deinen Punkt nicht ganz, das einzige was ich angewendet ist das Weierstrass-Kriterium und da muss ich ja explizit den Betrag von \(f_n(x)\) nehmen also laut meinem Wissensstand heisst es wenn ich eine Reihe habe und die Funktionenfolgen (also wenn man es so sagen kann die Einträge der Reihe) nach oben und unten abschätzen kann (also mit dem Betrag) und dann die Reihe dieser Abschätzung konvergiert, so konvergiert die ursprüngliche Reihe gleichmässig.
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karate
08.01.2021 um 22:56
Tschuldigung für den etwas strengen Tonfall, aber es kommt mir so vor, als hättest Du hier nicht alle Voraussetzungen erwähnt, die in der Aufgabe gemacht werden. Falls das stimmt, dann ist es für uns schwierig, zu helfen. Falls nicht, dann tut es mir leid.
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slanack
08.01.2021 um 22:57
Kein Problem mach dir nichts draus;). warte ich kann gerne die Aufgabenstellung kurz hochladen einen Moment bitte
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karate
08.01.2021 um 22:58
Ja, aber Du musst hier ja umgekehrt aus der Konvergenz etwas über die Funktionenfolge schließen. Da bringt Dir das Weierstrass-Kriterium nichts.
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slanack
08.01.2021 um 22:59
die Aufgabenstellung ist nun oben
hmm okei aber das Weierstrass Kriterium verknüpft doch beide? irgendwie sehe ich keinen anderen weg ─ karate 08.01.2021 um 23:03
hmm okei aber das Weierstrass Kriterium verknüpft doch beide? irgendwie sehe ich keinen anderen weg ─ karate 08.01.2021 um 23:03
Hm, weiß man etwas über die Menge \(M\)? Haben die Funktionen weitere Eigenschaften, z.B. Stetigkeit?
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slanack
08.01.2021 um 23:13
also nein das ist die gesamte Aufgabenstellung um die es sich handelt, wir haben weder weitere Informationen noch sonst was.
─ karate 08.01.2021 um 23:15
─ karate 08.01.2021 um 23:15
Weierstraß sagt: \(\sum_{n}\sup_x|f_n(x)|\) konvergent \(\Rightarrow \ \sum_nf(x)\) gleichmäßig konvergent. Der Pfeil geht nur in eine Richtung.
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slanack
08.01.2021 um 23:16
Ok, danke, ich denke noch mal drüber nach.
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slanack
08.01.2021 um 23:17
ja vielen herzlichen Dank, also wie ich oben schon mit @vzqxi besprochen habe, sehe ich ein, dass ich das sup(an) sicherlich nicht nehmen muss.
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karate
08.01.2021 um 23:18
Ah, ok, ich stand etwas auf der Leitung. Du musst das Cauchy-Kriterium für gleichmäßige Reihenkonvergenz verwenden. Imitiere den Beweis für die Aussage: \(\sum_na_n\) konvergent \(\Rightarrow\ a_n\to0\).
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slanack
08.01.2021 um 23:30
also das ist nicht das gleiche Cauchy Kriterium, dass man für die Konvergenz einer Reihe im allgemeinen braucht, also nicht wenn funktionenfolgen aufsummiert werden? weil wenn das so ist, so hatten wir dieses Kriterium nicht
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karate
08.01.2021 um 23:41
Hattet Ihr das Cauchy-Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen? Das könntest Du dann auf die Folge der Teilsummen der Funktionenreihe anwenden. Wenn Ihr es nicht hattet, dann formuliere und beweise es, analog zum Cauchy-Kriterium für Zahlenfolgen . Ich sehe keinen anderen Weg.
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slanack
09.01.2021 um 14:34
Okei ja hatten wir, haben es nur nicht so benannt daher ist es mir nicht aufgefallen. super vielen Dank ich versuche es gleich mal so!
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karate
09.01.2021 um 15:25