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Wie beweise ich diese Aussage über die gleichmässige Konvergenz?

Aufrufe: 1046 Aktiv: 09.01.2021 um 15:25

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Hallo Zusammen

ich müsste folgende Aufgabe über die gleichmässige Konvergenz einer Reihe beweisen. Bin mir jedoch nicht ganz sicher ob mein weg so legitim ist, wäre euch also sehr dankbar wenn ihr kurz ein Auge darauf werfen könnt.

vielen Dank

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gefragt 08.01.2021 um 15:16

karate
Student, Punkte: 1.95K

Also die erste Anmerkung bzw. Problematik, die mir gerade so auffällt, ist die Supremumsbildung deiner Folge. Also formal sieht es so aus, als wenn du das Supremum über deine Folge an bildest und dann den Grenzwert n gegen unendlich betrachten willst. Da aber dein Supremum eine Zahl ist, ist eine GW Betrachtung unsinnig für n gegen unendlich und dann würde entsprechend dein Sandwich-Satz (oder wie ihr ihn nennt zwei Polizisten Satz xD) nicht anwendbar sein. Das war aber jetzt nur erstmal ein Gedanke. Vielleicht noch ein weitere Gedanke um das Problem zu beheben: Meines Erachtens kannst du die supremumsbildung von an komplett weglassen, denn wegen deiner gleichmäßigen konvergenz gilt unabhängig von deinem x deine Abschätzung sup IfnI <= an. Das wäre jetzt meine Idee. ─ vzqxi 08.01.2021 um 18:44

okei ja das macht Sinn dann hätte ich einfach

$0 \leq sup(f_n(x)) \leq a_n$ oder so meinst es du? ─ karate 08.01.2021 um 22:50

genau aber den Betrag darfst du nicht weglassen. ─ vzqxi 08.01.2021 um 22:59

oh ja sorry habe ich vergessen
─ karate 08.01.2021 um 23:01

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slanack · Accepted Answer · 2021-01-08T20:27:26Z

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Deine Unsicherheit ist begründet, denn Dein Beweis ist falsch. Du behauptest ja implizit, ohne das zu belegen, dass die Reihe sogar absolut konvergiert, also für die Beträge von $f_n$ . Gegenbeispiel dazu: $f_n\equiv\frac{(-1)^n}{n}$ , also alles konstante Funktionen. Die Reihe konvergiert gleichmäßig, aber nicht absolut.

Hast Du denn schon alle Voraussetzungen verwendet?

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geantwortet 08.01.2021 um 20:27

slanack
Lehrer/Professor, Punkte: 4K

sorry sehe deinen Punkt nicht ganz, das einzige was ich angewendet ist das Weierstrass-Kriterium und da muss ich ja explizit den Betrag von

$f_n(x)$ nehmen also laut meinem Wissensstand heisst es wenn ich eine Reihe habe und die Funktionenfolgen (also wenn man es so sagen kann die Einträge der Reihe) nach oben und unten abschätzen kann (also mit dem Betrag) und dann die Reihe dieser Abschätzung konvergiert, so konvergiert die ursprüngliche Reihe gleichmässig. ─ karate 08.01.2021 um 22:56

Tschuldigung für den etwas strengen Tonfall, aber es kommt mir so vor, als hättest Du hier nicht alle Voraussetzungen erwähnt, die in der Aufgabe gemacht werden. Falls das stimmt, dann ist es für uns schwierig, zu helfen. Falls nicht, dann tut es mir leid. ─ slanack 08.01.2021 um 22:57

Kein Problem mach dir nichts draus;). warte ich kann gerne die Aufgabenstellung kurz hochladen einen Moment bitte ─ karate 08.01.2021 um 22:58

Ja, aber Du musst hier ja umgekehrt aus der Konvergenz etwas über die Funktionenfolge schließen. Da bringt Dir das Weierstrass-Kriterium nichts. ─ slanack 08.01.2021 um 22:59

die Aufgabenstellung ist nun oben
hmm okei aber das Weierstrass Kriterium verknüpft doch beide? irgendwie sehe ich keinen anderen weg ─ karate 08.01.2021 um 23:03

Hm, weiß man etwas über die Menge

$M$ ? Haben die Funktionen weitere Eigenschaften, z.B. Stetigkeit? ─ slanack 08.01.2021 um 23:13

also nein das ist die gesamte Aufgabenstellung um die es sich handelt, wir haben weder weitere Informationen noch sonst was.
─ karate 08.01.2021 um 23:15

Weierstraß sagt:

$\sum_{n}\sup_x|f_n(x)|$ konvergent

$\Rightarrow \ \sum_nf(x)$ gleichmäßig konvergent. Der Pfeil geht nur in eine Richtung. ─ slanack 08.01.2021 um 23:16

Ok, danke, ich denke noch mal drüber nach. ─ slanack 08.01.2021 um 23:17

ja vielen herzlichen Dank, also wie ich oben schon mit @vzqxi besprochen habe, sehe ich ein, dass ich das sup(an) sicherlich nicht nehmen muss. ─ karate 08.01.2021 um 23:18

Ah, ok, ich stand etwas auf der Leitung. Du musst das Cauchy-Kriterium für gleichmäßige Reihenkonvergenz verwenden. Imitiere den Beweis für die Aussage:

$\sum_na_n$ konvergent

$\Rightarrow\ a_n\to0$ . ─ slanack 08.01.2021 um 23:30

also das ist nicht das gleiche Cauchy Kriterium, dass man für die Konvergenz einer Reihe im allgemeinen braucht, also nicht wenn funktionenfolgen aufsummiert werden? weil wenn das so ist, so hatten wir dieses Kriterium nicht ─ karate 08.01.2021 um 23:41

Hattet Ihr das Cauchy-Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen? Das könntest Du dann auf die Folge der Teilsummen der Funktionenreihe anwenden. Wenn Ihr es nicht hattet, dann formuliere und beweise es, analog zum Cauchy-Kriterium für Zahlenfolgen . Ich sehe keinen anderen Weg. ─ slanack 09.01.2021 um 14:34

Okei ja hatten wir, haben es nur nicht so benannt daher ist es mir nicht aufgefallen. super vielen Dank ich versuche es gleich mal so! ─ karate 09.01.2021 um 15:25

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