Konvexität von Funktionen

Aufrufe: 95     Aktiv: 25.08.2021 um 12:13

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Hallo Zusammen, 
ich breite mich gerade auf eine Prüfung vor und wir sollen unter anderem Konvexität von vorgegebenen Funktionen (von R nach R) überprüfen können und dabei den obigen Satz verwenden. 
Könnte mir eventuell jemand anhand eines Beispiels das Vorgehen erklären? Komme da gerade irgenwie nicht weiter.

Vielen Danke schon mal!
Liebe Grüße
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Wie lautet denn der komplette(!) Satz?   ─   mikn 20.08.2021 um 14:45

In dem zweiten Teil des Satzes geht es um die strenge Konvexität. Also den Satz nochmal mit echt kleiner. Aber ich dachte das wäre für ein Beispiel nicht relevant.   ─   user553b7a 20.08.2021 um 14:51

Ok, richtig. Üblicherweise gibt es dann aber noch nen Satz mit der Hesse-Matrix, damit rechnet man das normalerweise. Achso, sorry, von R nach R....   ─   mikn 20.08.2021 um 15:02
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2 Antworten
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Ich denke, es soll gezeigt werden:
\(f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)\iff f(y)\geq f(x)+f'(x)(y-x)\)
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Von R nach R: Dann ist $\nabla f(x)=f'(x)$, konvex bedeutet dann, dass der Funktionswert über der Tangenten liegt (zur Erinnerung: Tangente in $x_0$ ist $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$).
Dies ist genau dann erfüllt, wenn $f''(x)\ge 0$ ist (falls $f$ zweimal diffbar ist). Im mehrdimensionalen mit der Hesse-Matrix).
Zum Üben und Nachrechnen nimm also eine Funktion, die letzteres erfüllt, z.B. $f(x)=x^2$, setze ein und prüfe nach.
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Und dann setzte ich für x_0 eine Zahl ein, oder wie?
  ─   user553b7a 20.08.2021 um 15:41

In Deiner Ungleichung kommt kein x_0 vor. Man rechnet natürlich allgemein. Nur die Funktion, deren Konvexität gezeigt werden soll, wird benutzt.   ─   mikn 20.08.2021 um 15:54

Okay, also ich muss im Allgemeinen die Abschätzung für alle x,x_0 zeigen. Und wie mache ich das, ich weiß doch nichts über x und x_0.   ─   user553b7a 20.08.2021 um 17:27

Hast Du meinen vorigen Kommentar gelesen? Hast Du in die Ungleichung f eingesetzt? Was steht dann da?   ─   mikn 20.08.2021 um 20:45

x^2-x_0^2 größer gleich 2x_0x-2x_0^2
Aber so richtig komme ich da nicht weiter.
  ─   user553b7a 24.08.2021 um 13:41

Da hilft das Handwerkszeug aus der Schule: ausklammern, binomische Formeln.   ─   mikn 24.08.2021 um 14:01

Okay für die linke Seite könnte ich die dritte Bin. Formel anwenden. Aber sehe nicht, wie mich das weiterbringt. Sorry, stehe total auf dem Schlauch.   ─   user553b7a 25.08.2021 um 09:12

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Du liest meine Hinweise nicht ganz, daher zieht sich das hier tagelang hin. Lies meinen letzten Hinweis nochmal, und bitte nicht "könnte tun", sondern tu es. Schreib hin.   ─   mikn 25.08.2021 um 09:47

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