Mach Dir erstmal die Sprache und die Logik in math. Aussagen klar.
Hier wird die Darstellungsmatrix definiert als $(f(v_1,...f(v_n))$. Punkt.
Die Frage, warum die linke Seite die DM ist, stellt sich also gar nicht.
Man kann sich dann fragen, was das $A$ auf der rechten Seite ist. Da die linke Seite vorgegeben ist, folgen Eigenschaften der rechten Seite. Dies ist kein Teil der Def., sondern eine Folgerung. Wenn man es so nimmt wie es da steht, stehen in den Spalten $A$ die Koordinaten der $f(v_i)$ in der Basis $v_1,...v_n$.
Dann ist (Folgerung!) $A = (M^{B_2}_{B_v})^T$ mit $B_v=(v_1,...,v_n)$ und $B_2=(f(v_1),...,f(v_n))$.
Da man (inkl. ich selbst) da aber leicht durcheinander kommen kann, prüfe das selbst ganz genau nach.