Nullstellen berechnen mit Hornerschema

Aufrufe: 61     Aktiv: 25.09.2021 um 18:48

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Aufgabe:

t(x) = x³ - 6x² + 12x 

Hallo, irgendwie kann ich diese Aufgabe nicht lösen. Wir sollen das Hornerschema verwenden.

Zuerst muss man ja 0 für das X Reihe Glied einsetzen, weil keins vorhanden ist.

Anschließend soll man die null Stellen "erraten".

Dies habe ich 30 Minuten lang probiert, bin allerdings auf kein Ergebnis gekommen.

Warum? Bin voll verzweifelt ;D

Und als ich aus Spaß die Gleichung in den Taschenrechner eingab, kam 0 raus. Hat es damit etwas zu tun? 

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Eine Nullstelle ist \(0\), dann brauchst du auch kein Horner-Schema.
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Woher weißt ich das? Bzw. woran kann ich das erkennen?   ─   leo.2201 25.09.2021 um 10:24

Da fehlt das absolute Glied, also Satz vom Nullprodukt! Setz doch einfach mal ein...   ─   mathejean 25.09.2021 um 10:44

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Mit dem Hornerschema kann man keine Nullstellen von Polynomen berechnen, sondern der Funktionswert \(P(x_0)\). Dabei kann man das polynomiale Ergenis der Division \(P(x):(x-x_0)\) direkt abgelesen werden. Im günstifsten Fall hat hat eine Nullstelle und das Restpolynom.
Im vorliegenden Fall ist das nicht nötig, weil die Nullstellen von \(x^3-6x^2+12x=x(x^2-6x+12)=0\) mithilfe des Satzes vom Nullprodukt bestimmt werden können.
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Ich denke nicht, dass bei dieser Aufgabe explizit das Horner-Schema verlangt wurde, denn es führt hier einfach nicht zum Ziel. 

Noch ein Tipp zum Raten der Nullstellen: Wenn die Koeffizienten ganzzahlig sind und vor dem $x^3$ nichts steht, dann ist häufig ein Teiler des absoluten Glieds eine Nullstelle. 

Beispiel: $f(x)=x^3-7x+6$. Vor dem $x^3$ steht nichts, alle Koeffizienten sind ganzzahlig und die Teiler von des absoluten Glieds $6$ sind $T_6=\{\pm 1, \pm 2, \pm 3\}$. Mit ein bisschen probieren sieht man dann schnell, dass die Nullstellen $x_1=1$, $x_2=2$ und $x_3=-3$ sind, alles aus der Teilermenge von $6$.

Diese Methode muss nicht immer funktionieren. Wenn es aber darum geht, die Nullstellen zu berechnen und anschließend eine Polynomdivision oder das Horner-Schema anzuwenden, dann sind die Aufgaben häufig so konzipiert, dass es passt. 

Gegenbeispiel: $f(x)=x^3+x+1$. Dieselben Voraussetzungen wie oben, aber weder $1$ noch $-1$ ist eine Nullstelle!
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