Brauche Hilfe! Komplexe Zahlen und Funktion

Erste Frage Aufrufe: 556     Aktiv: 02.03.2021 um 16:52
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Moin. Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe. Und zwar was ist z ? Und wie kann ich es berechnen? Danke im voraus!
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\(z\) ist die komplexe Zahl (2-dim Vektor), die durch den blauen Pfeil angedeutet wird.

Die komplexe Zahl kann durch \(x\) und \(y\) Koordinaten beschrieben werde ODER durch die Polarkoordinaten. D.h. durch den Radius \(r_1\) und den Winkel \(\theta\).

\(z=r\cdot (i\sin\theta + \cos\theta)\)
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Vielen dank!   ─   eku1453 25.02.2021 um 17:22
Ich habs nochmal nachgerechnet und bekomme nicht die Lösung raus. Für r habe ich 3 eingesetzt und für den Winkel bei Sinus und Cosinus 60 Grad. Bekomnme hieraus: 1.5+3 Wurzel 3 durch 2 mal i. Die Lösung ist jedoch 121,5-210,44 mal i. Wie kann man mit der angegeben Formel die Lösung erhalten?   ─   eku1453 26.02.2021 um 15:48
Du musst noch \([3\cdot(i\cdot\sin(60°)+\cos(60°)]^{\color{red}{5}}\) rechnen.   ─   math stories 26.02.2021 um 16:26
Der blaue Pfeil ist \(\sqrt[5]{z} = r(i\sin\theta + \cos\theta)\)
   ─   math stories 26.02.2021 um 16:30
danke nochmal, doch erhalte ich wenn ichs einsetze 7,59+118,...mal i obwohl die Lösung 121,5-210,44 mal i ist. und zudedm wie kommt man in der Lösung auf minus 210,44?   ─   eku1453 02.03.2021 um 15:40
\(\sqrt[5]{z} = 3(i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2})\)

Das ganze hoch 5:

\(z = 3^5\cdot (i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2})^5\)

Die Klammer musst du ausmultiplizieren oder einen Taschenrechner nutzen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%283*%28i*sin%2860%C2%B0%29%2Bcos%2860%C2%B0%29%29%29%5E5
   ─   math stories 02.03.2021 um 16:12
Zum Lösen der Klammer nutze das Pascalsche Dreieck für die Vorfaktoren und den Zusammenhang:

\(i^2=-1\)

\(i^4=1\)

Lade gern mal deine Rechnung hoch, dann schaue ich drauf!   ─   math stories 02.03.2021 um 16:14
Ich hab mal aus Neugier auch das in meinen TR eingegeben, ich bekomme auch das raus was der Fragesteller reingestellt hat.. komisch...   ─   alibaba 02.03.2021 um 16:20
Du solltest nach Zusammenfassen auf

\(\dfrac{3^5}{2}\cdot (1-\sqrt{3}i)\) kommen   ─   math stories 02.03.2021 um 16:21
mein tr kann nicht mit variablen arbeiten, deswegen rechne ich einzeln. 1x mit sin und 1x mit cos. bekomme 118.37 und 7.59 raus.   ─   alibaba 02.03.2021 um 16:25
wenn ich das i weglasse und alles auf einmal rechne bekomme ich 1155.84 raus
   ─   alibaba 02.03.2021 um 16:28
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vielen Dank für die ganze mühe! ich hatte einfach nur eine klammer zu wenig, hatte am ende 2 anstatt 3. und jetzt komme ich auch aufs Ergebnis.   ─   eku1453 02.03.2021 um 16:32
cool, freut mich! 😎✅   ─   math stories 02.03.2021 um 16:52

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Der blaue Pfeil zeigt die (genauer: eine) fünfte Wurzel von z an. Und nicht z selbst, wie math stories in der Antwort geschrieben hat.
Das Potenzieren geschieht am einfachsten in der Polarform:
Es geht um die Zahl mit dem blauen Pfeil, diese hat \(r=3\) und \(\theta=\frac\pi3\) (Bogenmaß!), also haben wir \(3\,e^{i\frac\pi3}\). Dann ist
\( z = (3\,e^{i\frac\pi3})^5=...\), Potenzrechenregeln beachten. Den neuen Winkel sollte man generell noch durch Subtrahieren von Vielfachen von \(2\pi\) in das Intervall \([0,2\pi)\) zurückschieben (ist hier aber nicht nötig, weil er nicht rausfällt). Das Ergebnis kann man dann leicht wieder in die kartesische Form bringen.
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