Die Definition der Ableitung an der Stelle \( x \) ist

\( f^\prime(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)

(sofern dieser Limes existiert).

Daraus kann man dann bestimmte Ableitungsregeln herleiten, die man benutzen kann. Man braucht also nicht immer den Differentialquotienten, um die Ableitung auszurechnen. Für die Theorie ist der Differentialquotient aber sehr wichtig.

Ich bin mir nicht sicher, was du mit "gleich die Ableitung bilden" meinst. Zur Ableitung gibt es folgende Definition (für reelle Funktionen):

Sei \(I\subseteq\mathbb R\) ein offenes Intervall und \(f:I\to\mathbb R\) eine Funktion. \(f\) heißt differenzierbar im Punkt \(a\in I\), falls $$\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ existiert, in diesem Fall setzen wir $$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ und nennen diesen Wert die Ableitung von \(f\) am Punkt \(a\).

Anhand von dieser Definition kann man für manche Funktionen die Ableitung bestimmen, z.B. für Polynome, Exponential- oder trigonometrische Funktionen; sowie allgemeinere Regeln beweisen, wie man Summen, Produkte, Quotienten oder Verkettungen differenzierbarer Funktionen ableiten kann. Das genügt, um die meisten Funktonen abzuleiten, die einem begegnen, es gibt aber auch Fälle, in denen das nicht möglich ist, zum Beispiel wenn die Funktion in verschiedenen Intervallen unterschiedlich definiert ist.

Die allgemeine Definition benötigt man auch, wenn man Eigenschaften der Ableitung beweisen möchte.Eine wichtige Eigenschaft ist zum Beispiel, dass die Ableitung einer Funktion an Extremstellen verschwindet. Das kannst du nur mit einer allgemeinen Definition der Ableitung beweisen.