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(Disclaimer: Die Frage hängt mit https://www.mathefragen.de/frage/q/4791b6c9a4/wahrscheinlichkeitsrechnung/ zusammen, aber der Vollständigkeit halber schreibe ich sie nochmal komplett hier:)

Eine Familie hat 3 Kinder. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind männlich oder weiblich ist, sei gleich.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:

a) A: Die Familie hat entweder 3 Töchter oder 3 Söhne. (wurde in der anderen Frage gelöst, Ergebnis 0,25)
b) B: Die Familie hat mindestens 2 Töchter.
c) A∩B
d) Untersuche, ob die Ereignisse A und B voneinander unabhängig sind.

Für b) B habe ich 0,5 raus und das soll auch richtig sein. Soweit, so gut.
Bei c) habe ich 0,125 raus, weil ja die Schnittmenge nur aus den 3 Töchtern besteht. Da weiß ich nicht, ob das stimmt, ich gehe aber davon aus. Richtig?

Mein Problem liegt in d). Für die Unabhängigkeit gilt ja die Formel   P(A∩B)=(P(A)*P(B).  
P(A∩B) ist laut c) 0,125.
P(A) ist ja laut a) 0,25 und P(B) laut b) 0,5.
Eingesetzt in die Formel also 0,125=0,125.
Da beide Seiten gleich sind, folgere ich daraus, dass die Ereignisse voneinander unabhängig sind. Wenn man sich das logisch überlegt, können sie ja auch gar nicht voneinander abhängig sein. Jetzt soll aber die Lösung "abhängig" sein und die Gleichung falsch. Wieso? Ist c) falsch?

Das kann ich mir nicht erklären und ich bin am Überlegen, ob die Fragestellung überhaupt zulässig ist, also ob die Berechnung überhaupt sinnvoll ist oder ob das nicht eher sowas wie "2 Äpfel minus 3 Birnen" ist. Denn in einem mehrstufigen Zufallsexperiment wird ja die Abhängigkeit von einer Stufe zur nächsten Stufe bestimmt. Und nicht die Abhängigkeit eines Endergebnisses vom anderen Endergebnis. Also z.B. beim Ziehen ohne Zurücklegen, da ändert sich ja die Wahrscheinlichkeit der Teilergebnisse in der zweiten Stufe im Vergleich zur ersten Stufe, da in der zweiten Stufe weniger Kugeln vorhanden sind. Aber in dieser Aufgabe oben werden doch nur Abhängigkeiten der Endergebnisse zueinander berechnet bzw. verglichen. Das geht doch gar nicht. Oder habe ich da einen Denkfehler und das ist mit dieser Formel auch möglich?
(Ich hoffe, ich habe mich gut ausgedrückt, es war gar nicht so einfach.) 

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Deine Ergebnisse stimmen. Vermutlich hat man hier mit dem falschen Ergebnis von a) gerechnet. Und wie auch bei der anderen Frage: Lösungen sind immer zu hinterfragen. Für stochastische Unabhängigkeit reicht $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ aus, ist hier erfüllt und damit sind die Ereignisse stochastisch unabhängig.
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Vielen Dank. Kannst Du noch was zu meiner letzten Frage sagen? Ist das überhaupt logisch/sinnvoll, diese Formel zu nehmen oder rechne ich damit Quatsch (Äpfel minus Birnen)?   ─   user255818 02.04.2022 um 00:54

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Das berechnet man am einfachsten mit der bedingten Wahrscheinlichkeit $P(B|A)$. Im Falle der Unabhängigkeit gilt nämlich $P(B|A)=P(B)$.   ─   cauchy 02.04.2022 um 01:01

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Tatsächlich hatte ich diese Problematik letztes Jahr mit einem Kollegen, der seiner Klasse eine ähnliche Aufgabe stellte aber nur zweistufig, sinngemäß wie "Man bekommt entweder 2 Söhne oder 2 Töchter". Die Absicht dahinter war so etwas wie ein Exklusiv-Oder abzufragen, also das zu dem Ereignis ENTWEDER Sohn-Sohn ODER Tochter-Tochter gehört. Quasi nur einer der Fälle und nicht beide. Ich war aber der Auffassung man sollte es dann genauer und schülergerechter formulieren. Also "Man bekommt zwei Kinder vom selben Geschlecht" oder "Man bekommt zwei Söhne" bzw. "Man bekommt zwei Mädchen". Das Ereignis wäre sonst nicht eindeutig. Gerade bei Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung muss man sehr genau auf die Wortwahl achten, weil sonst wie hier nur Verwirrung entsteht.
Soll bedeuten das die Lehrkraft oder wer auch immer diese Frage gestellt hat eventuell auch solch eine Art Exklusiv-Oder beabsichtigt hat.
Ansonsten stimme ich in jedem Fall mit cauchy überein, auch nach meiner Auffassung sind deine Rechnungen richtig und es handelt sich um stochastische Unabhängigkeit.
  ─   maqu 02.04.2022 um 01:18

Ja, ich denke auch, dass das die Absicht dahinter war. Mir erschließt sich nur nicht, wieso man das so ungenau macht. Also welche Rechenfertigkeit/Logik soll damit abgeprüft werden? Ich hätte ebenfalls einfach "drei Söhne" bzw. "drei Töchter" abgefragt. Aber ich bin auch sehr pragmatisch.
Wenn eben nur a) falsch ist, damit kann man leben. Aber wenn das dann auf das Ergebnis von d) durchschlägt und damit eine komplett andere Schlussfolgerung (unabhängig statt abhängig) herauskommt, dann ist das schon blöd. Es ist ja auch vom gesunden Menschenverstand her nicht abzuleiten, wieso "mindestens 2 Töchter" von "3 Töchtern oder Söhnen" abhängen soll bzw. umgekehrt. Wobei bei Stochastik der gesunde Menschenverstand manchmal auf eine harte Probe gestellt wird ;) Naja, aber gut. Wenn ich weiß, dass ich richtig rechne, bin ich ja beruhigt. Danke Euch beiden!
  ─   user255818 02.04.2022 um 02:26

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