Geordneter Körper

Aufrufe: 66     Aktiv: 26.10.2021 um 15:23

0
Sei K mit +, . ein georndeter Körper, dann soll ich für alle a,b,c $\in$ K zeigen:

Stimmt das so, was ich hier gemacht habe, bin mir da ein bisschen unsicher?
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 24

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Hallo,

beim ersten Beweis hast du auf der linken Seite (a>0) irgendwann mit -1 multipliziert, aber nicht auf der rechten Seite. Mach das ruhig analog. Oder nutze O.b.d.A. a>0, denn der Beweis für a<0 läuft ja äquivalent ab und so sparst du dir etwas Schreibarbeit. 
Von der dritten Zeile auf die Vierte hast du einen Fehler gemacht.
Die vierte Zeile folgt nicht direkt aus der dritten Zeile, denn es folgt aus der dritten und aus der Voraussetzung

$$ a >0 \Rightarrow -a < 0 $$
Da nach Voraussetzung aber $a>0$, folgt sofort
$$ -a <0 < a $$

Deinen zweiten Beweis kann ich so nicht nachvollziehen. Du musst hier die Rechengesetze nehmen, die ihr für Ungleichungen gelernt habt. Du fängst hier an
$$ a > b > 0 $$
Multipliziere mal deine Ungleichungskette mit $a$. (was würde mit der Ungleichung passieren, wenn $a$ negativ wäre?)
Wie kommst du nun auf $a^2 >b^2$?

Noch als kleine Anmerkung: Ich weiß nicht wieso dort $a^2 \geq b^2$ steht, da wir $a=b$ ausschließen, können die Quadrate auch nicht gleich sein. 

Grüße Christian
Diese Antwort melden
geantwortet

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.41K

 

Danke für die Antwort hat auf jeden Fall weiter geholfen. Was deine Frage angeht: bei minus a würde sich die Symbole umdrehen. Und das größer gleich: könnte ja sein das a = 1 und b = 0 dann wäre ja $a^2>=b2$   ─   skinnybug 26.10.2021 um 13:37

Ja genau da würde sich das Zeichen umdrehen. Deshalb betrachten wir hier nur positive.
Mal davon abgesehen, dass $a,b\neq 0$, ist ja $1^2 > 0^2$. Also $\geq$ ist nicht falsch, aber es wundert mich dass vorher nur > dort stand und danach $\geq$, denn die Gleichheit besteht nur, wenn $a$ und $b$ gleich sind.
Das kann man auch zeigen
$$ a^2 \geq b^2 \Rightarrow a^2-b^2 \geq 0 \Rightarrow (a-b)(a+b) \geq 0 $$
Da $a$ und $b$ positiv, kann $a+b$ nicht Null werden. Daraus folgt, dass das nur Null wird, wenn $a-b=0 \Rightarrow a=b$.
  ─   christian_strack 26.10.2021 um 15:23

Kommentar schreiben