In der Wikipedia steht im Abschnitt "Eigenschaften" des Artikels "Galoisgruppe", dass die Galoisgruppe soviel Elemente hat wie der Grad der Körpererweiterung, also 8.
Ferner permutiert jedes Element der Galoisgruppe die Nullstellen des zug. Polynoms.
Diese Nst. lauten hier: \(\pm \sqrt{2},  \pm \sqrt{3}, \pm \sqrt{5}\).
Nun kann ein Element f der Galoisgruppe nicht z.B. \(\sqrt{2}\) auf \(\sqrt{3}\) abbilden - denn dann wäre \(f(2) = f(\sqrt{2} \sqrt{2}) = \sqrt{3} \sqrt{3} = 3\).
Also kann f nur \(\sqrt{n}\) auf \(\pm \sqrt{n}\) abbilden (n=2,3,5).
Durch Kombination ergeben sich dann 8 Elemente der Galoisgruppe wie folgt:
Sei \(I=\{-1,1\}^3\).
Sei \(L=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})\).
Für jedes \(i=(i_1,i_2,i_3)\in I\) definiere \(f_i:L\rightarrow L\) durch
- \(f_i\) ist Körperautomorphismus
- \(f_i(q)=q\; \forall q\in \mathbb{Q}\)
- \(f_i(\sqrt{2}) = i_1 \sqrt{2},\;\; f_i(\sqrt{3}) = i_2 \sqrt{3},\;\; f_i(\sqrt{5}) = i_3 \sqrt{5}\)
Dann sollte \(G=\{f_i; i\in I\}\) die Galoisgruppe sein.
Jetzt muss man natürlich noch nachweisen, dass meine obige Definition der \(f_i\) eindeutig und wohldefiniert ist, und dass G eine Gruppe bildet.

Dazu ist sicherlich hilfreich, dass jedes \(x\in L\) eine eindeutige Zerlegung der Form
\(x =  a_1 + a_2  \sqrt{2} + a_3 \sqrt{3} + a_5 \sqrt{5} + a_{23} \sqrt{2}\sqrt{3} + a_{25} \sqrt{2}\sqrt{5} + a_{35} \sqrt{3}\sqrt{5} + a_{235} \sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{5}\)
besitzt, wobei \(a_1, a_2, a_3, a_5, a_{23}, a_{25}, a_{35}, a_{235} \in \mathbb{Q}\).

Das sollte bei Aufgabe (i) herausgekommen sein.