Übungsaufgabe zum Grad von Körpererweiterungen

Aufrufe: 211     Aktiv: 11.01.2024 um 00:45

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Das ist die Aufgabe, die ich lösen will und hier mein Ansatz:


Ich weiß zwar nicht mal, ob es bis hier richtig ist, aber ab dieser Gleichung komm ich nicht mehr weiter, es muss wahrscheinlich irgendwie mit dem zweiten Teil von dem Hinweis zu tun haben.

Bei der 1(ii) weiß ich noch gar nicht, wie das funktioniert. Vielleicht kann mir da auch noch jemand helfen.

Edit:
Ich glaube, dass ich die 1(i) geschafft habe (es ist zumindestens am ende auf das richtige rausgekommen)!! Ich brauche eigentlich nur noch Hilfe bei der 1(ii) :)
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In der Wikipedia steht im Abschnitt "Eigenschaften" des Artikels "Galoisgruppe", dass die Galoisgruppe soviel Elemente hat wie der Grad der Körpererweiterung, also 8.
Ferner permutiert jedes Element der Galoisgruppe die Nullstellen des zug. Polynoms.
Diese Nst. lauten hier: \(\pm \sqrt{2},  \pm \sqrt{3}, \pm \sqrt{5}\).
Nun kann ein Element f der Galoisgruppe nicht z.B. \(\sqrt{2}\) auf \(\sqrt{3}\) abbilden - denn dann wäre \(f(2) = f(\sqrt{2} \sqrt{2}) = \sqrt{3} \sqrt{3} = 3\).
Also kann f nur \(\sqrt{n}\) auf \(\pm \sqrt{n}\) abbilden (n=2,3,5).
Durch Kombination ergeben sich dann 8 Elemente der Galoisgruppe wie folgt:
Sei \(I=\{-1,1\}^3\).
Sei \(L=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})\).
Für jedes \(i=(i_1,i_2,i_3)\in I\) definiere \(f_i:L\rightarrow L\) durch
- \(f_i\) ist Körperautomorphismus
- \(f_i(q)=q\; \forall q\in \mathbb{Q}\)
- \(f_i(\sqrt{2}) = i_1 \sqrt{2},\;\; f_i(\sqrt{3}) = i_2 \sqrt{3},\;\; f_i(\sqrt{5}) = i_3 \sqrt{5}\)
Dann sollte \(G=\{f_i; i\in I\}\) die Galoisgruppe sein.
Jetzt muss man natürlich noch nachweisen, dass meine obige Definition der \(f_i\) eindeutig und wohldefiniert ist, und dass G eine Gruppe bildet.

Dazu ist sicherlich hilfreich, dass jedes \(x\in L\) eine eindeutige Zerlegung der Form
\(x =  a_1 + a_2  \sqrt{2} + a_3 \sqrt{3} + a_5 \sqrt{5} + a_{23} \sqrt{2}\sqrt{3} + a_{25} \sqrt{2}\sqrt{5} + a_{35} \sqrt{3}\sqrt{5} + a_{235} \sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{5}\)
besitzt, wobei \(a_1, a_2, a_3, a_5, a_{23}, a_{25}, a_{35}, a_{235} \in \mathbb{Q}\).

Das sollte bei Aufgabe (i) herausgekommen sein.
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