Wenn von "x-Sylowgruppen" die Rede ist, dann muss x eine Primzahl sein. Also kannst Du Deine letzte Zeile, die mit x=4 beginnt, schon mal streichen.

Im Wiki-Artikel https://de.wikipedia.org/wiki/Sylow-S%C3%A4tze steht:
Die Anzahl der x-Sylowuntergruppen ist ein Teiler von m und von der Form 1+kx mit \(k \in \mathbb{N}_0\).
Dabei ist m definiert durch \(|A_4| = 12 = x^r m\), m teilerfremd zu r.
x ist also eine Primzahl, die 12 teilt, kann also nur 2 oder 3 sein.

Leider musst Du nicht nur die ANZAHL der Sylow-Gruppen berechnen, sondern die Sylow-Gruppen selbst.
Bei x=2 sind das alle Untergruppen, die neben der Identität Permutationen enthalten, die zwei disjunkte Paare von {1,2,3,4} vertauschen. Da gibt es:
- \(1\Leftrightarrow 2\), \(3\Leftrightarrow 4\)
- \(1\Leftrightarrow 3\), \(2\Leftrightarrow 4\)
- \(1\Leftrightarrow 4\), \(2\Leftrightarrow 3\)
Das ergibt nur eine 2-Sylowgruppe, die alle drei dieser Permutationen enthält.

Bei x=3 sind das alle Untergruppen der Form \(\{1, \sigma, \sigma^{-1}\}\), wobei x drei Elemente von {1,2,3,4} zyklisch vertauscht und das verbleibende Element konstant lässt. Da gibt es
- \(\sigma\) lässt 1 konstant und rotiert die Elemente 2,3,4.
- \(\sigma\) lässt 2 konstant und rotiert die Elemente 1,3,4.
- \(\sigma\) lässt 3 konstant und rotiert die Elemente 1,2,4.
- \(\sigma\) lässt 4 konstant und rotiert die Elemente 1,2,3.
also vier 3-Sylowgruppen