P-Sylowgruppen der alternierenden Gruppe

Aufrufe: 254     Aktiv: 10.11.2023 um 11:55

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Hallo :)
Ich habe diese Aufgabe auf meinem Übungsblatt:

Ich bräuchte da ein bisschen Hilfe, da ich das Thema mit den p-Sylowgruppen noch gar nicht verstanden habe...
Hier meine Ansätze zu (i) (für (ii) habe ich noch gar nichts):

Ich denke man muss irgendwie die 3-Sylowgruppen und 4-Sylowgruppen berechnen (wegen Primzahlzerlegung?)... von den-Sylowgruppen gäbe es ja dann mit den Sylow-Sätzen nur eine und bei den 3-Sylowgruppen also 1 oder 4... wie man da dann aber einen Fall ausschließt, da hab ich gar keine Idee.
Ich wäre dankbar um jede Hilfe...

Mit dem Hinweis zur (ii) kann ich leider auch nichts wirklich anfangen.
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Wenn von "x-Sylowgruppen" die Rede ist, dann muss x eine Primzahl sein. Also kannst Du Deine letzte Zeile, die mit x=4 beginnt, schon mal streichen.

Im Wiki-Artikel https://de.wikipedia.org/wiki/Sylow-S%C3%A4tze steht:
Die Anzahl der x-Sylowuntergruppen ist ein Teiler von m und von der Form 1+kx mit \(k \in \mathbb{N}_0\).
Dabei ist m definiert durch \(|A_4| = 12 = x^r m\), m teilerfremd zu r.
x ist also eine Primzahl, die 12 teilt, kann also nur 2 oder 3 sein.

Leider musst Du nicht nur die ANZAHL der Sylow-Gruppen berechnen, sondern die Sylow-Gruppen selbst.
Bei x=2 sind das alle Untergruppen, die neben der Identität Permutationen enthalten, die zwei disjunkte Paare von {1,2,3,4} vertauschen. Da gibt es:
- \(1\Leftrightarrow 2\), \(3\Leftrightarrow 4\)
- \(1\Leftrightarrow 3\), \(2\Leftrightarrow 4\)
- \(1\Leftrightarrow 4\), \(2\Leftrightarrow 3\)
Das ergibt nur eine 2-Sylowgruppe, die alle drei dieser Permutationen enthält.

Bei x=3 sind das alle Untergruppen der Form \(\{1, \sigma, \sigma^{-1}\}\), wobei x drei Elemente von {1,2,3,4} zyklisch vertauscht und das verbleibende Element konstant lässt. Da gibt es
- \(\sigma\) lässt 1 konstant und rotiert die Elemente 2,3,4.
- \(\sigma\) lässt 2 konstant und rotiert die Elemente 1,3,4.
- \(\sigma\) lässt 3 konstant und rotiert die Elemente 1,2,4.
- \(\sigma\) lässt 4 konstant und rotiert die Elemente 1,2,3.
also vier 3-Sylowgruppen

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Sorry, musste meine Antwort nochmal korrigieren. Es gibt nur eine 2.Sylowgruppe.   ─   m.simon.539 10.11.2023 um 11:55

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