Beziehung zwischen Supremum und Infimum

Aufrufe: 1326     Aktiv: 14.06.2020 um 17:58

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Hallo 
Ich müsste diese rot umkreiste Aussage beweisen. Habe einmal begonnen, weiss jedoch wirklich nicht ob mein Gedankengang stimmt, und ob das so überhaupt richtig ist.

Wäre euch wirklich dankbar, wenn ihr euch das kurz anschauen könntet.

 

Tausend Dank

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Dein Beweis ist so leider nicht verständlich. Beispielsweise folgerst du aus \( \sup (-A) \ge y \), dass \( -a \ge y\) ist. Aber du schreibst gar nicht, woher dieses \(a\) denn kommt. Für ein allgemeines \(a \in A\) ist die Implikation nämlich nicht korrekt.

Für den Beweis genügt es auch eigentlich zu zeigen, dass \(- \inf(A)\) die Eigenschaften des Supremums von \(-A\) erfüllt.

Zunächst ist \(- \inf(A) \) eine obere Schranke von \(-A\), denn: Sei \(x \in -A\), dann ist \(-x \in A\) und somit nach Definition des Infimums \( \inf(A) \le -x\) bzw. \( - \inf(A) \ge x\).

Außerdem ist \(- \inf(A) \) kleinste obere Schranke von \(-A\), denn: Sei \(\varepsilon > 0\) gegeben, dann gibt es nach Definition des Infimums ein \(x \in A\) mit \( \inf(A) + \varepsilon > x\) bzw. \( - \inf(A) - \varepsilon < -x\), wobei \(-x \in -A\) ist.

Somit gilt also \(- \inf(A) = \sup(-A) \).

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super danke
  ─   karate 14.06.2020 um 17:58

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