(Twitter)
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Hallo,
man versucht eine Ausdruck der Form $(x+?)^2$ zu erzeugen. Dann können wir nämlich davon die Wurzel ziehen und nach x umstellen.
Wir fangen an bei
$$ ax^2 + bx + c= 0 $$
Nun steht dort ja, dass wir zuerst durch $a$ teilen
$$ \Rightarrow x^2 + \frac ba x + \frac ca = 0 $$
Schreiben wir mal im fortlaufenden $p = \frac ba$ und $q = \frac ca $. Also sind wir nun an der Stelle
$$ x^2 +px+q = 0$$.
Wir wollen nun einen Ausdruck der Form $(x+k)^2$ haben. Rechnen wir das aus, erhalten wir $x^2 +2kx+k^2$.
Diese beiden Ausdrücke können wir nun vergleichen. Das $x^2$ haben wir schon in beiden Fällen dort stehen. Also gucken wir uns den nächsten Summanden an. Es muss
$$ px = 2kx$$
sein. Daraus können wir $k$ bestimmen, nämlich $\frac p2$. Nun ist aber in den meisten Fällen $q\neq k^2$. Wir müssen uns also überlegen, was wir hier dazupacken müssen, damit wir die binomische Formel rückwärts anwenden können. Im Zweifelsfall kann man einfach $k^2$ addieren und subtrahieren, also
$$ x^2 + px + q = x^2 + px + k^2 - k^2 + q = 0 $$
Jetzt können wir die binomische Formel anwenden (mit $p=2k$)
$$ x^2 + 2kx + k^2 +(-k^2+q) = (x+k)^2 +(-k^2+q) =0 $$
Wir bringen den nicht quadratischen Teil auf die andere Seite der Gleichung
$$ (x+k)^2 = k^2 -q $$
Wir ziehen die Wurzel
$$ x+k = \pm \sqrt{k^2 -q}$$
und ziehen noch $k$ ab
$$ x = -k \pm \sqrt{k^2-q} $$
So haben wir $x$ bestimmt. Wenn wir jetzt für $k$ wieder $\frac p2$ einsetzen, kommen wir sogar auf eine sehr bekannte Formel
$$ x = - \frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2 -q} $$
Rechne doch gerne mal ein Beispiel durch und ich gucke drüber.
$$ 2x^2 + 4x - 8= 0$$
Grüße Christian
man versucht eine Ausdruck der Form $(x+?)^2$ zu erzeugen. Dann können wir nämlich davon die Wurzel ziehen und nach x umstellen.
Wir fangen an bei
$$ ax^2 + bx + c= 0 $$
Nun steht dort ja, dass wir zuerst durch $a$ teilen
$$ \Rightarrow x^2 + \frac ba x + \frac ca = 0 $$
Schreiben wir mal im fortlaufenden $p = \frac ba$ und $q = \frac ca $. Also sind wir nun an der Stelle
$$ x^2 +px+q = 0$$.
Wir wollen nun einen Ausdruck der Form $(x+k)^2$ haben. Rechnen wir das aus, erhalten wir $x^2 +2kx+k^2$.
Diese beiden Ausdrücke können wir nun vergleichen. Das $x^2$ haben wir schon in beiden Fällen dort stehen. Also gucken wir uns den nächsten Summanden an. Es muss
$$ px = 2kx$$
sein. Daraus können wir $k$ bestimmen, nämlich $\frac p2$. Nun ist aber in den meisten Fällen $q\neq k^2$. Wir müssen uns also überlegen, was wir hier dazupacken müssen, damit wir die binomische Formel rückwärts anwenden können. Im Zweifelsfall kann man einfach $k^2$ addieren und subtrahieren, also
$$ x^2 + px + q = x^2 + px + k^2 - k^2 + q = 0 $$
Jetzt können wir die binomische Formel anwenden (mit $p=2k$)
$$ x^2 + 2kx + k^2 +(-k^2+q) = (x+k)^2 +(-k^2+q) =0 $$
Wir bringen den nicht quadratischen Teil auf die andere Seite der Gleichung
$$ (x+k)^2 = k^2 -q $$
Wir ziehen die Wurzel
$$ x+k = \pm \sqrt{k^2 -q}$$
und ziehen noch $k$ ab
$$ x = -k \pm \sqrt{k^2-q} $$
So haben wir $x$ bestimmt. Wenn wir jetzt für $k$ wieder $\frac p2$ einsetzen, kommen wir sogar auf eine sehr bekannte Formel
$$ x = - \frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2 -q} $$
Rechne doch gerne mal ein Beispiel durch und ich gucke drüber.
$$ 2x^2 + 4x - 8= 0$$
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Das freut mich zu hören :)
Die pq-Formel ist das Resultat der quadratischen Ergänzung. So muss man nicht jedes mal die quadratische Ergänzung durchführen.
Das Vorgehen der quadratischen Ergänzung ist aber immer das selbe. Du guckst das $x^2$ keinen Vorfaktor mehr hat (also keinen mehr meine ich eine 1). Dann nimmst du den Vorfaktor von x und teilst durch 2. Das ist dann der andere Werte in deiner binomischen Formel. Am Ende musst du nur noch prüfen, was übrig bleibt von dem konstanten Term, wenn du die binomische Formel rückwärts anwendest.
Ja lade sie gerne hoch. Dann gucke ich sie mir an :) ─ christian_strack 22.10.2021 um 15:19
Die pq-Formel ist das Resultat der quadratischen Ergänzung. So muss man nicht jedes mal die quadratische Ergänzung durchführen.
Das Vorgehen der quadratischen Ergänzung ist aber immer das selbe. Du guckst das $x^2$ keinen Vorfaktor mehr hat (also keinen mehr meine ich eine 1). Dann nimmst du den Vorfaktor von x und teilst durch 2. Das ist dann der andere Werte in deiner binomischen Formel. Am Ende musst du nur noch prüfen, was übrig bleibt von dem konstanten Term, wenn du die binomische Formel rückwärts anwendest.
Ja lade sie gerne hoch. Dann gucke ich sie mir an :) ─ christian_strack 22.10.2021 um 15:19
okay, ich hab die Lösung jetzt in der Frage angefügt (denke aber diese ist falsch)
─
userc7eb48
22.10.2021 um 15:52
Sieht doch wunderbar aus. Nur kannst du sofort $\frac 2 2 =1$ schreiben. Und die Ergebnsisse zusammen rechnen.
Einen Fehler hast du gemacht, als du $-4$ auf die andere Seite geholt hast, hast du das Vorzeichen nicht gewechselt.
Es ist also
$$(x+1)^2 = 1+4=5 $$
Dann erhalten wir nach dem Wurzel ziehen und nach $x$ umstellen
$$ x_{1/2}= -1 \pm \sqrt{5}$$
kein schönes Ergebnis aber die richtige Lösung :) ─ christian_strack 22.10.2021 um 16:06
Einen Fehler hast du gemacht, als du $-4$ auf die andere Seite geholt hast, hast du das Vorzeichen nicht gewechselt.
Es ist also
$$(x+1)^2 = 1+4=5 $$
Dann erhalten wir nach dem Wurzel ziehen und nach $x$ umstellen
$$ x_{1/2}= -1 \pm \sqrt{5}$$
kein schönes Ergebnis aber die richtige Lösung :) ─ christian_strack 22.10.2021 um 16:06
Danke für das Beispiel, ich werde meine Lösung dazu gleich hochladen.
─ userc7eb48 22.10.2021 um 15:10