(Twitter)
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Zu den S:
Man hat ja m Zeilenvektoren \(R_1,\ldots,R_m\). Die spannen einen Vektorraum V auf.
Sei \(r=\dim(V) \).
V hat - wie jeder endlichdimensionale Vektorraum, eine Basis, bestehend aus r Elementen:
Basis = \(\{S_1,\ldots,S_r\}\).
Die b-s sind so definiert:
Die Komponenten von S_p nenne ich \(b_{p1},\ldots,b_{pn}\), wobei \(p=1,\ldots,r\).
Mit anderen Worten:
\(S_1 = \left( b_{11},\ldots,b_{1n} \right) \),
\(S_2 = \left( b_{21},\ldots,b_{2n} \right) \),
...
\(S_r = \left( b_{r1},\ldots,b_{rn} \right) \) (Der Beweis hat hier einen Druckfehler).
Zu den k's:
\(R_1\) ist ja in V, und damit eine Linearkombination der Basis \(\{S_1,\ldots,S_r\}\).
Also gibt es Koeffizienten \(k_{11}, \ldots, k_{1r} \), so dass
\(R_1\;=\;k_{11}S_1 + \ldots + k_{1r}S_r\).
Analoges gilt für die anderen R's:
\(R_2\;=\;k_{21}S_1 + \ldots + k_{2r}S_r\).
...
\(R_m\;=\;k_{m1}S_1 + \ldots + k_{mr}S_r\).
Ehrlich, ich habe den Beweis niemals auswendig gelernt, habe aber trotzdem das Studium geschafft.
Sofern Du nicht unbedingt eine eins haben willst, es reicht m.E, diesen Beweis einmal verstanden zu haben, und nur das Ergebnis "Zeilenrank=Spaltenrank" "abzuspeichern".
Man hat ja m Zeilenvektoren \(R_1,\ldots,R_m\). Die spannen einen Vektorraum V auf.
Sei \(r=\dim(V) \).
V hat - wie jeder endlichdimensionale Vektorraum, eine Basis, bestehend aus r Elementen:
Basis = \(\{S_1,\ldots,S_r\}\).
Die b-s sind so definiert:
Die Komponenten von S_p nenne ich \(b_{p1},\ldots,b_{pn}\), wobei \(p=1,\ldots,r\).
Mit anderen Worten:
\(S_1 = \left( b_{11},\ldots,b_{1n} \right) \),
\(S_2 = \left( b_{21},\ldots,b_{2n} \right) \),
...
\(S_r = \left( b_{r1},\ldots,b_{rn} \right) \) (Der Beweis hat hier einen Druckfehler).
Zu den k's:
\(R_1\) ist ja in V, und damit eine Linearkombination der Basis \(\{S_1,\ldots,S_r\}\).
Also gibt es Koeffizienten \(k_{11}, \ldots, k_{1r} \), so dass
\(R_1\;=\;k_{11}S_1 + \ldots + k_{1r}S_r\).
Analoges gilt für die anderen R's:
\(R_2\;=\;k_{21}S_1 + \ldots + k_{2r}S_r\).
...
\(R_m\;=\;k_{m1}S_1 + \ldots + k_{mr}S_r\).
Ehrlich, ich habe den Beweis niemals auswendig gelernt, habe aber trotzdem das Studium geschafft.
Sofern Du nicht unbedingt eine eins haben willst, es reicht m.E, diesen Beweis einmal verstanden zu haben, und nur das Ergebnis "Zeilenrank=Spaltenrank" "abzuspeichern".
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m.simon.539
Punkte: 2.22K
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Und diesen Kram auch noch auswendig zu lernen ist das letzte, was Du tun solltest. Das ist kein seriöser Beweis.
Gerade für eine mündliche Prüfung ist der Beweis, der in Deiner Lehrveranstaltung geführt wurde, relevant. Wenn Du den nicht verstehst, lade den hier hoch, dann helfen wir. Es geht auf jeden Fall viel einfacher, und auch ohne dass man Komponenten von Vektoren betrachten muss. ─ mikn 30.09.2023 um 14:30