Beweis Zeilenrang = Spaltenrang

Aufrufe: 340     Aktiv: 07.10.2023 um 12:22

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Hi :)
Ich versuche gerade folgenden Beweis zu verstehen und auswendig zu lernen für meine mündliche Modulprüfung in Lineare Algebra: http://www.informatikseite.de/linearealgebra/lineare_algebra_grundlagennode81.php.
Leider verstehe ich schon in der dritten Zeile nicht mehr, was gemacht wird, denn hier steht: 

Wenn nun der Zeilenrang r ist, dann haben wir r linear unabhängige Vektoren (bis hierhin ist es mir klar), die dazu eine Basis bilden: ...
Meine Frage: wozu bilden die eine Basis? Ist ja nicht gleich klar oder? Und dann werden einfach Vektoren b verwendet, wo nirgends steht, wo die eigentlich herkommen...
Im weiteren Verlauf werden dann auch noch k's verwendet, wo auch nicht definiert ist, wo die herkommen (man kann aber rauslesen, dass es sich um Koeffizienten in K handeln soll).
Und generell weiß ich einfach nicht, wie ich mir das ganze einprägen kann ohne mit den verschiedenen Indizes durcheinanderzukommen.

Gibt es vielleicht irgendwo einen Beweis, der etwas besser aufgeschrieben ist oder bin ich einfach nur zu doof, das zu verstehen?
Hat jemand einen Tipp, welche Dinge am Beweis besonders wichtig sind, damit ich mir die wenigsten einprägen kann und wenigstens etwas zu der Frage sagen kann, falls sie in meiner Prüfung drankommt...?

In meiner Verzweiflung wäre ich um jede konstruktive Hilfe sehr dankbar.

 

EDIT vom 02.10.2023 um 08:05:

Also hier der Beweis aus meinem Skript:

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Student, Punkte: 79

 

Mir stellen sich beim Lesen dieselben Fragen und spätestens beim "dazu" hätte ich abgebrochen. Der ganze Beweis ist unpräzise formuliert und ganz am Ende benutzt er auch noch (ohne das zu sagen), dass Zeilenrang(A)=Zeilenrang(A^T) ist.
Und diesen Kram auch noch auswendig zu lernen ist das letzte, was Du tun solltest. Das ist kein seriöser Beweis.
Gerade für eine mündliche Prüfung ist der Beweis, der in Deiner Lehrveranstaltung geführt wurde, relevant. Wenn Du den nicht verstehst, lade den hier hoch, dann helfen wir. Es geht auf jeden Fall viel einfacher, und auch ohne dass man Komponenten von Vektoren betrachten muss.
  ─   mikn 30.09.2023 um 14:30

Okay, danke. Dann lade ich mal den Beweis aus meinem Skript hoch :)   ─   emiliahlg 02.10.2023 um 07:59

Ok. Das Vorgehen ist auf den ersten Blick ähnlich wie auf informatikseite. Wo ist jetzt deine erste Unklarheit? Auf eventuelle weitere schauen wir jetzt nicht. Verständnis erarbeitet man sich schrittweise.   ─   mikn 02.10.2023 um 09:18

Was bedeutet denn nach Übergang zu minimalen EZS?   ─   emiliahlg 02.10.2023 um 09:51

Schau erst den Begriff "min. EZS" genau nach. Dann lies weiter, es ist im nächsten Satz erklärt ("Genauer....").   ─   mikn 02.10.2023 um 10:05

Hey, vielen Dank für die Hilfe, ich hatte nur in den letzten Tagen noch eine andere Klausur und da ich jetzt nicht mehr viel Zeit habe um für meine Modulprüfung zu lernen, lass ich den Beweis einfach weg. Danke trotzdem und es kommen bestimmt noch ein paar Fragen in den nächsten 2 Tagen... :)   ─   emiliahlg 07.10.2023 um 11:47

Für mündliche Prüfungen reicht in der Regel eine grobe Beweisidee. Die genaue Ausführung eines solchen Beweises ist in der Regel und meiner Erfahrung nach nicht erforderlich. Viel Erfolg.   ─   cauchy 07.10.2023 um 11:53

Sehe ich genauso. Der Beweis ist recht technisch und eignet sich nicht gut für mündliche Prüfungen.   ─   mikn 07.10.2023 um 12:22
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Zu den S:
Man hat ja m Zeilenvektoren \(R_1,\ldots,R_m\). Die spannen einen Vektorraum V auf.
Sei \(r=\dim(V) \).
V hat - wie jeder endlichdimensionale Vektorraum, eine Basis, bestehend aus r Elementen:
Basis = \(\{S_1,\ldots,S_r\}\).

Die b-s sind so definiert:
Die Komponenten von S_p nenne ich \(b_{p1},\ldots,b_{pn}\), wobei \(p=1,\ldots,r\).
Mit anderen Worten:
\(S_1 = \left( b_{11},\ldots,b_{1n} \right) \),
\(S_2 = \left( b_{21},\ldots,b_{2n} \right) \),
...
\(S_r = \left( b_{r1},\ldots,b_{rn} \right) \) (Der Beweis hat hier einen Druckfehler).

Zu den k's:
\(R_1\) ist ja in V, und damit eine Linearkombination der  Basis \(\{S_1,\ldots,S_r\}\).
Also gibt es Koeffizienten \(k_{11}, \ldots, k_{1r} \), so dass
\(R_1\;=\;k_{11}S_1 + \ldots + k_{1r}S_r\).
Analoges gilt für die anderen R's:
\(R_2\;=\;k_{21}S_1 + \ldots + k_{2r}S_r\).
...
\(R_m\;=\;k_{m1}S_1 + \ldots + k_{mr}S_r\).

Ehrlich, ich habe den Beweis niemals auswendig gelernt, habe aber trotzdem das Studium geschafft.
Sofern Du nicht unbedingt eine eins haben willst, es reicht m.E, diesen Beweis einmal verstanden zu haben, und nur das Ergebnis "Zeilenrank=Spaltenrank" "abzuspeichern".
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