Question

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von ln(x) gegeben fx(x)=2x R(0,1)

Aufrufe: 536 Aktiv: 13.11.2020 um 17:04

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Ich muss die Wahrscheinlichkeitsdichtefkt für lnx. Über die Transformation von ich schon so weit P(Y<y) = P(lnx<y) = P (X<e^y) jetzt komme ich nicht mehr weiter. Muss ich jetzt die e^y in fx(x) = 2x einsetzen ? Oder muss ich e^y davor ableiten und dann einsetzen?

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gefragt 13.11.2020 um 11:16

pkgk
Punkte: 10

Hallo,

leider ist Stochastik auch nicht mein Steckenpferd, deshalb poste ich das erstmal als Kommentar:

Verstehe ich dich richtig, dass die Dichtefunktion $f_Y(y) $ gesucht wird über die Dichtefunktion $ f_X(x) = 2x $ (auf $(0,1)$) und dem Zusammenhang $ \ln(X) = Y $ der Zufallsvariablen?

Die Dichtefunktion beschreibt ja $ P(X=x) $. Die Verteilungsfunktion betrachtet dann die Wahrscheinlichkeit für Intervalle. Mit deinem Ansatz

$$ f_Y(y) = P(Y=x) = P(\ln(X)) = x) = P(X= e^x) $$

hast du somit schon deine Umformung und kannst es sofort in die Dichtefunktion einsetzen

$$ f_Y(x) = 2y = 2e^x $$

Was sagst du dazu?

Grüße Christian ─ christian_strack 13.11.2020 um 14:24

Hallo Christian, danke für die Antwort. Ich komme bei der Umformung irgendwie auf fy(y)= 2e^y also ich habe die e^y einfach in die fx(x) eingesetzt. Jetzt bin ich verwirrt, wäre die Dichtefunktion dann 2e^x oder 2e^y ? ─ pkgk 13.11.2020 um 15:24

In der Aufgabe ist auch vermerkt, dass die Zufallsvariable X stetig ist, kann man das dann so schreiben mit P(Y=x) oder muss man da nicht eher diese Schreibweise nehmen -> P(Y ─ pkgk 13.11.2020 um 15:27

ouh ja da habe ich die Buchstaben dureichander geworfen. Du hast recht.
Das mit der Schreibweise kann sein. Aber denoch würde ich nicht $ P(Y \leq y) $ nehmen. Denn das steht definitiv für eine Verteilungsfunktion.
Dann lass den Ausdruck mit P ganz weg.
Ich glaube die Stetigkeit ist vorallem wichtig für die Transformation. Nichtstetige wären glaube ich anders zu behandeln aber da bin ich mir sehr unsicher.

Aber auf jeden Fall müsste die Dichtefunktion $ f_Y(y) = 2e^y $ lauten.
Was mir aber gerade auch noch auffällt, ich denke das Definitionsintervall sollte auch angepasst werden. Also du hast nicht mehr $ (0,1)$, sondern $(e^0 ,e^1) = (1,e)$. Oder? ─ christian_strack 13.11.2020 um 15:32

Ja in der Aufgabe wird auch nach dem wertebereich von Y gefragt. Ich bin dabon ausgegangen, dass ich einfach den Wertebereich für Y=Ln(x) angeben muss. Das wäre ja R (alle reelen Zahlen) oder muss ich das machen , wie du es gemacht hast? ─ pkgk 13.11.2020 um 15:49

Also das Intervall muss definitiv mit transformiert werden. Es ist tatsächlich ausschlaggebend dafür, das wir wirklich eine Dichtefunktion haben. Es gilt ja nur durch $ \mathbb{D} = (0,1) $, dass
$$ \int\limits_{\mathbb{R}} f_X(x) \ \mathrm{d}x = \int\limits_0^1 2x \ \mathrm{d}x = [x^2]_0^1 = 1 $$
gilt. Und nur so haben wir wirklich eine Dichtefunktion. Wir müssen ja wieder eine Dichtefunktion herausbekommen. Schreiben wir das mal etwas anders.
$$ f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x & \text{für} \ x \in (0,1) \\ 0 & \text{für} \ x \notin (0,1) \end{matrix} \right. $$
ich dachte daraus folgt,
$$ f_Y(y) = f_X(e^x) = \left\{ \begin{matrix} 2e^{x} & \text{für} \ x \in (e^0 , e^1) \\ 0 & \text{für} \ x \notin (1,e) \end{matrix} \right.$$
aber mit
$$ \int\limits_{\mathbb{R}} f_y(Y) \ \mathrm{d}y = \int\limits_1^e 2e^x \ \mathrm{d}x = [2e^x]_1^e = 2e^e - 2e \neq 1 $$
sehen wir dass das nicht passen kann. Dann habe ich mir überlegt, dass ja
$$ Y = \ln(X) $$
gilt, also müsste aus dem Intervall $(0,1)$, das Intervall $(- \infty, 0 ) $ Werden. Aber auch damit komme ich leider auf den Integralwert $ 2 $. Ich glaube dass das Intervall $(- \infty , 0 ) $ das richtige ist. Aber ich glaube auch das irgendwas mit der Transformation schief gelaufen ist.
Da muss ich nochmal drüber nachdenken. Vielleicht hilft dir das ganze aber schon mal als Anstoss :)

Also das Intervall muss definitiv mit transformiert werden. Es ist tatsächlich ausschlaggebend dafür, das wir wirklich eine Dichtefunktion haben. Es gilt ja nur durch $ \mathbb{D} = (0,1) $, dass
$$ \int\limits_{\mathbb{R}} f_X(x) \ \mathrm{d}x = \int\limits_0^1 2x \ \mathrm{d}x = [x^2]_0^1 = 1  $$
gilt. Und nur so haben wir wirklich eine Dichtefunktion. Wir müssen ja wieder eine Dichtefunktion herausbekommen. Schreiben wir das mal etwas anders.
$$ f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x & \text{für} \ x \in (0,1) \\ 0 & \text{für} \ x \notin (0,1) \end{matrix} \right. $$
ich dachte daraus folgt,
$$ f_Y(y) = f_X(e^x) = \left\{ \begin{matrix} 2e^{x} & \text{für} \ x \in (e^0 , e^1) \\ 0 & \text{für} \ x \notin (1,e) \end{matrix} \right.$$
aber mit
$$ \int\limits_{\mathbb{R}} f_y(Y) \ \mathrm{d}y = \int\limits_1^e 2e^x \ \mathrm{d}x = [2e^x]_1^e = 2e^e - 2e \neq 1 $$
sehen wir dass das nicht passen kann. Dann habe ich mir überlegt, dass ja
$$ Y = \ln(X) $$ 
gilt, also müsste aus dem Intervall $(0,1)$, das Intervall $(- \infty, 0 ) $ Werden. Aber auch damit komme ich leider auf den Integralwert $ 2 $. Ich glaube dass das Intervall $(- \infty , 0 ) $ das richtige ist. Aber ich glaube auch das irgendwas mit der Transformation schief gelaufen ist. 
Da muss ich nochmal drüber nachdenken. Vielleicht hilft dir das ganze aber schon mal als Anstoss :)

─ christian_strack 13.11.2020 um 16:08

Vielen Dank, du hast mir auf jeden Fall weitergeholfen!!! ─ pkgk 13.11.2020 um 16:11

Ahhh ich denke ich habs
Vergessen wir mal kurz alles was uns so an der Stochastik verwirrt und wenden wir uns der schönen Integralrechnung zu
Es gilt
$$\int\limits_{\mathbb{R}} f_X(x) \ \mathrm{d} x = \int\limits_0^1 2x \ \mathrm{d}x = 1 $$
soweit so gut. Nun führen wir hier natürlich eine Substitution durch. Das dürfen wir in der Integralrechnung natürlich nicht außer acht lassen. Mit
$$ \ln(X) = Y \Rightarrow X = e^Y $$
und
$$ \frac {\mathrm{d}x} {\mathrm{d}y} = e^y \Rightarrow \mathrm{d}x = e^y \mathrm{d}y $$
erhalten wir
$$ \int\limits_0^1 2x \ \mathrm{d}x \overset{x\to e^y}{=} \int\limits_{-\infty}^0 2e^y \cdot e^y \ \mathrm{d}y = \int\limits_{-\infty}^0 2e^{2y} \ \mathrm{d}y = [e^{2y}]_{-\infty}^0 = e^0 = 1 $$
Damit denke ich, ergibt sich
$$ f_Y(y) = 2e^{2y} $$
auf dem Intervall
$$ (-\infty, 0) $$ ─ christian_strack 13.11.2020 um 16:20

Ich muss aber nochmal erwähnen eine Garantie dass das richtig ist kann ich dir nicht geben. ─ christian_strack 13.11.2020 um 16:27

Danke Chrisitan, ich bin auch auf 2e^2y gekommen. Ich denke so müsste es passen. Du warst mir eine große Hilfe, danke dir!!
─ pkgk 13.11.2020 um 16:40

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1 Antwort

christian_strack · Answer 1 · 2020-11-13T17:04:43Z

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Perfekt. Das freut mich sehr zu hören :) (ich schreibe das mal hier um die Frage zu "beantworten").

Grüße Christian

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geantwortet 13.11.2020 um 17:04

christian_strack
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