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Aufgabe: Im Dreidimensionalen Würfeltest (3DW) erreichten 10 Studenten die folgende Ergebnisse (maximale Punktzahl ist 17): 4, 5, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 12,14)

a) Berechnen Sie das arithmetische Mittel, die Varianz und Standardabweichung!
b) Ist es sinnvoll, einen Modalwert anzugeben? (Lösung: Ja, weil die Verteilung zweigipflig ist)

Vielleicht bin ich einfach nur überfordert gerade, weil ich schon den gesamten Tag über lerne; aber inwiefern ist der Modus hier aussagekräftig? Was ist an der zweigipfligen Verteilung so wichtig und wie soll mir der Modalwert bei der Interpretation weiterhelfen?

Zudem: Für die Varianz kam ich auf 9,6 was richtig zu sein scheint, aber es gibt noch eine weitere Formel mit der ich auf einen absurd hohen Wert kam (46,08). Letztere hat aber mehr Sinn ergeben: Die Summen der einzelnen Punktwerte - Mittelwert, quadriert und multipliziert mit der relativen Häufigkeit der Würfe. Es steht da, dass 17 die maximale Punktzahl ist, also wäre die relative Häufigkeit wohl beim ersten 4/17, beim 2. 5/17 usw.; aber das ist scheinbar die falsche Formel. ... Warum..?
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Ich hoffe mal, du weißt, was eine zweigipflige Verteilung ist. Dieses Beispiel halte ich übrigens nicht wirklich für geeignet. Das arithmetische Mittel liegt bei 8,6 und der Median bei 8,5. Die Modi liegen allerdings bei 8 und 10. Was ist jetzt der genaue Unterschied? Nunja, der Median sagt, dass die Hälfte der Studenten weniger und die andere Hälfte mehr als 8,5 Punkte erzielten. Das sagt aber erstmal gar nichts über die genaue Verteilung aus. Auch das arithmetische Mittel sagt jetzt nicht viel mehr aus, nur dass der Durchschnitt eben bei 8,6 liegt. Bei den Modi weißt du aber hingegen, dass sowohl 8 als auch 10 die häufigsten Werte sind und 8 liegt bspw. unterhalb von Median und arithmetischem Mittel. Das bedeutet nun, das Werte außerhalb des arithmetischen Mittels sogar häufiger auftreten (können). Die Stichprobe ist hier allerdings viel zu klein, um das hier gut zu sehen. Stelle dir vor, du hast 1000 Studenten. Als Modi hast du 6 und 12 und als Mittelwert hast du 9, es treten aber kaum Fälle mit 9 Punkten auf. Jetzt sagen dir die Modi, dass du möglicherweise zwei Gruppen von Studenten hast (z.B. männlich und weiblich), wobei die männlichen Studenten am häufigsten 6 Punkte und die weiblichen am häufigsten 12 Punkte erreichen. Hier ist der Modi also aussagekräftiger als der Median oder Mittelwert. 

Bei deiner zweiten Formel zur Varianz sind die relativen Häufigkeiten falsch. Du betrachtest die Häufigkeit des auftretenden Werts in der Stichprobe in Relation zur Stichprobengröße. Mit dem Maximalwert hat das nichts zu tun.
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