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Du machst bereits im ersten Schritt eine falsche Annahme. Die ZV \(X\) ist auf \(\{-2,-1,0,1,2\}\) gleichverteilt. Nicht jedoch die ZV \(Y\colon=|X|\)! Warum nicht? Stelle einmal die Wahrscheinlichkeitsverteilung für \(Y\) auf. In der Rechnung passt es aber anscheinend.
Warum schließt du aus der zweiten Rechnung, dass die ZV nicht unkorreliert sind? Du hast doch \(\mathbb{E}[XY]=0=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]\) gezeigt!
Warum schließt du aus der zweiten Rechnung, dass die ZV nicht unkorreliert sind? Du hast doch \(\mathbb{E}[XY]=0=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]\) gezeigt!
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cauchy
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ich hab die Aufgabe mit einem Mitstudierenden angefangen, musste dann aber zur Arbeit. Jetzt muss ich mir das halt erarbeiten, aber ich muss immer alles bis zum letzten Punk verstehen, sonst krieg ich das nicht hin.
Also Y ist somit: \( \mathbb{P}(Y = k) = \begin{array}{ccc} \frac{2}{5} \ \ \text{, für x=2 und x=-2} \\ \frac{2}{5} \ \ \text{, für x=1 und x=-1} \\ \frac{1}{5} \ \ \text{, für x=0} \end{array} \)
Dann steht der Schnitt an mit zB: \( \mathbb{P}(X=1 \cap Y=-1) \) Frage: Das was da raus kommt, sind das die Werte für die Korrelationsmatrix? (dann verstehe ich gerade so ein paar Zusammenhänge) Am Anfang dachte ich, die sieht so aus (1), aber das kann ja nicht sein
(1) \( \begin{array}{|c|c|c|}
& -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\
\hline
0 & & \\
1 & & \\
2 & & \\
\end{array} \)
Die muss so sein, richtig?
\( \begin{array}{|c|c|c|}
& -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\
\hline
-2 & & \\
-1 & & & & \mathbb{P}(X=1 \cap Y=-1) \\
0 & & \\
1 & & \\
2 & & \\
\end{array} \)
Info: \mathbb{P}(Y = k) = \begin\left\{{array}{ccc} a \\ b \\ c \end{array} hab ich es falsch einsortiert? denn so klappt es bei mir noch nicht. ─ labis 16.07.2021 um 11:28
Also Y ist somit: \( \mathbb{P}(Y = k) = \begin{array}{ccc} \frac{2}{5} \ \ \text{, für x=2 und x=-2} \\ \frac{2}{5} \ \ \text{, für x=1 und x=-1} \\ \frac{1}{5} \ \ \text{, für x=0} \end{array} \)
Dann steht der Schnitt an mit zB: \( \mathbb{P}(X=1 \cap Y=-1) \) Frage: Das was da raus kommt, sind das die Werte für die Korrelationsmatrix? (dann verstehe ich gerade so ein paar Zusammenhänge) Am Anfang dachte ich, die sieht so aus (1), aber das kann ja nicht sein
(1) \( \begin{array}{|c|c|c|}
& -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\
\hline
0 & & \\
1 & & \\
2 & & \\
\end{array} \)
Die muss so sein, richtig?
\( \begin{array}{|c|c|c|}
& -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\
\hline
-2 & & \\
-1 & & & & \mathbb{P}(X=1 \cap Y=-1) \\
0 & & \\
1 & & \\
2 & & \\
\end{array} \)
Info: \mathbb{P}(Y = k) = \begin\left\{{array}{ccc} a \\ b \\ c \end{array} hab ich es falsch einsortiert? denn so klappt es bei mir noch nicht. ─ labis 16.07.2021 um 11:28
testversuch \( \mathbb{P}(Y = k) = \left\{\begin{array}{ccc} a \\ b \\ c \end{array} \right. \) danke
ich les mich mal noch mal durch und melde mich. ─ labis 16.07.2021 um 17:22
ich les mich mal noch mal durch und melde mich. ─ labis 16.07.2021 um 17:22
Ja ich hab mich da wohl etwas durcheinander bringen lassen von mir selbst. Die Kovarianz ist ein Zusammenhangsmaß zweier ZVen /Merkmale. dh. so wie du sagtest ist
\[ Cov[X,Y] = \begin{bmatrix} \sigma^2(X) & \sigma(Y,X) \\ \sigma(X,Y) & \sigma^2(Y) \end{bmatrix} \]
Wenn ich also verstehe wie ich diese Tabelle anhand dieser Werte, die ich nun besitze, aus der Aufgabenstellung fülle, kriege ich auch meine Randverteilungen raus und könnte theoretisch \( f_X(x) \ \& \ f_Y(y) \) bestimmen?
Da die ZV X gleichverteilt ist, kann ich die Formel für die Varianz der Gleichverteilung nutzen? Das wäre ja laut Formel: \( \mathbb{V}(X) = \frac{1}{n} \cdot \Sigma_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \) und jetzt schauen wir mal ob ich es soweit kapiert habe.
X = {-2, -1, 0, 1, 2}, also
\[ \ \ \mathbb{E}(X) = \frac{1}{5} \cdot \Sigma_{i=1}^5 x_i = \frac{1}{5} \cdot (-2) + \frac{1}{5} \cdot (-1) + \frac{1}{5} \cdot 0 + \frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{1}{5} \cdot 2 = -\frac{2}{5} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = 0 \ \ \]
und es ist
\[ \mathbb{V}(X) = \frac{1}{5} \cdot \Sigma_{i=1}^5 (x_i)^2 = (-\frac{2}{5})^2 + (-\frac{1}{5})^2 + (\frac{1}{5})^2 + (\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}+\frac{1}{25}+\frac{1}{25}+\frac{4}{25} = \frac{10}{25}=\frac{2}{5} \]
bevor ich jetzt Cov(X,Y) versuche auszurechnen und es falsch angehe. Y = {0, 1, 2} richtig?
Wenn ich die Matrix hab, ergeben sich ja die Randverteilungen. Ich werde das mal übungsweise machen, da ich sehe, dass mir hier Übung fehlt. Und von den Werten aus komme ich dann auf f(x) und f(y).
Jetzt aber zurück zur eigentlich Aufgabe. Wie berechne ich den Schnitt? \( \mathbb{P}(X=1 \ \cap \ Y=-1) \) ─ labis 16.07.2021 um 18:37
\[ Cov[X,Y] = \begin{bmatrix} \sigma^2(X) & \sigma(Y,X) \\ \sigma(X,Y) & \sigma^2(Y) \end{bmatrix} \]
Wenn ich also verstehe wie ich diese Tabelle anhand dieser Werte, die ich nun besitze, aus der Aufgabenstellung fülle, kriege ich auch meine Randverteilungen raus und könnte theoretisch \( f_X(x) \ \& \ f_Y(y) \) bestimmen?
Da die ZV X gleichverteilt ist, kann ich die Formel für die Varianz der Gleichverteilung nutzen? Das wäre ja laut Formel: \( \mathbb{V}(X) = \frac{1}{n} \cdot \Sigma_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \) und jetzt schauen wir mal ob ich es soweit kapiert habe.
X = {-2, -1, 0, 1, 2}, also
\[ \ \ \mathbb{E}(X) = \frac{1}{5} \cdot \Sigma_{i=1}^5 x_i = \frac{1}{5} \cdot (-2) + \frac{1}{5} \cdot (-1) + \frac{1}{5} \cdot 0 + \frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{1}{5} \cdot 2 = -\frac{2}{5} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = 0 \ \ \]
und es ist
\[ \mathbb{V}(X) = \frac{1}{5} \cdot \Sigma_{i=1}^5 (x_i)^2 = (-\frac{2}{5})^2 + (-\frac{1}{5})^2 + (\frac{1}{5})^2 + (\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}+\frac{1}{25}+\frac{1}{25}+\frac{4}{25} = \frac{10}{25}=\frac{2}{5} \]
bevor ich jetzt Cov(X,Y) versuche auszurechnen und es falsch angehe. Y = {0, 1, 2} richtig?
Wenn ich die Matrix hab, ergeben sich ja die Randverteilungen. Ich werde das mal übungsweise machen, da ich sehe, dass mir hier Übung fehlt. Und von den Werten aus komme ich dann auf f(x) und f(y).
Jetzt aber zurück zur eigentlich Aufgabe. Wie berechne ich den Schnitt? \( \mathbb{P}(X=1 \ \cap \ Y=-1) \) ─ labis 16.07.2021 um 18:37
ok, das deswegen Y eine andereVerteilung hat, kann ich akzeptieren, check. Ist halt offensichtlich dann.
der Schnitt ist doch theoretisch wie folgt definiert: \( \mathbb{P}(X =1 \cap Y = 1)= \mathbb{P}(X=1 \cup Y=-1) - \mathbb{P}(X=1) - \mathbb{P}(Y=-1) \) Das kann man doch theoretisch so angehen, oder?
\[ = \mathbb{P}(X=1 \cup Y=-1) - \mathbb{P}(X=1) - \mathbb{P}(Y=-1) = (\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5}) - \frac{1}{5} - \frac{2}{5} = \frac{2}{25} - \frac{5}{25} - \frac{10}{25} = -\frac{13}{25}\]
oh mannnn, das haut ja voll nicht hin. dachte das klappt :/ ─ labis 16.07.2021 um 23:43
der Schnitt ist doch theoretisch wie folgt definiert: \( \mathbb{P}(X =1 \cap Y = 1)= \mathbb{P}(X=1 \cup Y=-1) - \mathbb{P}(X=1) - \mathbb{P}(Y=-1) \) Das kann man doch theoretisch so angehen, oder?
\[ = \mathbb{P}(X=1 \cup Y=-1) - \mathbb{P}(X=1) - \mathbb{P}(Y=-1) = (\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5}) - \frac{1}{5} - \frac{2}{5} = \frac{2}{25} - \frac{5}{25} - \frac{10}{25} = -\frac{13}{25}\]
oh mannnn, das haut ja voll nicht hin. dachte das klappt :/ ─ labis 16.07.2021 um 23:43
Da der Erwartungswert von X = 0 ist, ist die Kovarianz immer 0.
\( Cov[X,Y] = \mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])(Y-\mathbb{E}[Y])] = \mathbb{E}[X \cdot Y]-\mathbb{E}[X] \cdot \mathbb{E}[Y] = 0 \)
Das bedeutet, dass der Erwartungswert von Y = 3/5 ist, da sonst über die Randwerte die Summe 1 nicht zu stande kommt, richtig? Also wäre die Matrix: \hline war mir bekannt, aber ich weiß nicht wie ich den senkrechten strich hinkriege, ich hoffe das ist verständlich.
\( \begin{bmatrix} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{5} \\ 0 & \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\ \hline \frac{2}{5} & \frac{3}{5} & 1 \end{bmatrix} \)
Also lautet \( f_{X,Y} (x,y) = \frac{2}{5}x \cdot \frac{3}{5}y \) ?? ─ labis 17.07.2021 um 00:09
\( Cov[X,Y] = \mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])(Y-\mathbb{E}[Y])] = \mathbb{E}[X \cdot Y]-\mathbb{E}[X] \cdot \mathbb{E}[Y] = 0 \)
Das bedeutet, dass der Erwartungswert von Y = 3/5 ist, da sonst über die Randwerte die Summe 1 nicht zu stande kommt, richtig? Also wäre die Matrix: \hline war mir bekannt, aber ich weiß nicht wie ich den senkrechten strich hinkriege, ich hoffe das ist verständlich.
\( \begin{bmatrix} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{5} \\ 0 & \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\ \hline \frac{2}{5} & \frac{3}{5} & 1 \end{bmatrix} \)
Also lautet \( f_{X,Y} (x,y) = \frac{2}{5}x \cdot \frac{3}{5}y \) ?? ─ labis 17.07.2021 um 00:09
oh ok. alles klar. also weiter gehts, bis ich es kapiert hab.
\( \bullet \) die W'keit, dass Y = -1 ist? die ist null. gibt es ja nicht. ah ok. das muss ich natürlich dann auch so umsetzen.
\( \bullet \) \( \mathbb{E}[X]=0 \) Aber wenn ich doch 0 mit etwas multipliziere ist doch alles null ? oder übersehe ich da gerade etwas sehr traviales.
\( \bullet \) \( Cov[X,Y] = \mathbb{E}[? \cdot Y] - 0 \cdot \mathbb{E}[Y] \) beim Fragezeichen steht also keine Null, weil es hier nicht um den Erwartungswert von X sondern vom Produkt geht. dh. ich mach mal nach der Formel die Drüber steht
\( \bullet \) \( Cov[X,Y] = \mathbb{E}[(X- \mathbb{E}[X]) \cdot (Y- \mathbb{E}[Y])] \)
\( \bullet \) \( \mathbb{E}[Y]: \ \ Y = \{0, 1, 2\} \ \ \ \mathbb{E}=0*\frac{1}{5}+1*\frac{2}{5}+2*\frac{2}{5} = \frac{6}{5}\) ?
muss jetzt leider schon ins bett. morgen arbeiten. ich freue mich über jede Rückmeldung, danke für die Geduld und das super erklären! ─ labis 17.07.2021 um 02:04
\( \bullet \) die W'keit, dass Y = -1 ist? die ist null. gibt es ja nicht. ah ok. das muss ich natürlich dann auch so umsetzen.
\( \bullet \) \( \mathbb{E}[X]=0 \) Aber wenn ich doch 0 mit etwas multipliziere ist doch alles null ? oder übersehe ich da gerade etwas sehr traviales.
\( \bullet \) \( Cov[X,Y] = \mathbb{E}[? \cdot Y] - 0 \cdot \mathbb{E}[Y] \) beim Fragezeichen steht also keine Null, weil es hier nicht um den Erwartungswert von X sondern vom Produkt geht. dh. ich mach mal nach der Formel die Drüber steht
\( \bullet \) \( Cov[X,Y] = \mathbb{E}[(X- \mathbb{E}[X]) \cdot (Y- \mathbb{E}[Y])] \)
\( \bullet \) \( \mathbb{E}[Y]: \ \ Y = \{0, 1, 2\} \ \ \ \mathbb{E}=0*\frac{1}{5}+1*\frac{2}{5}+2*\frac{2}{5} = \frac{6}{5}\) ?
muss jetzt leider schon ins bett. morgen arbeiten. ich freue mich über jede Rückmeldung, danke für die Geduld und das super erklären! ─ labis 17.07.2021 um 02:04
3. Ja habe da extra ein Fragezeichen geschrieben. Ich weiß, dass da X stehen würde, wollte damit nur aufzeigen, dass da ja nicht die Null stehen kann. Jetzt muss ich noch schauen wie ich das berechne. Habe ne Formel gefunden, aber das sieht ganz schön aufwendig aus, sollte wohl in einer Klausur nicht dran kommen. Oder geht das auch "schnell".
Ich hab eine Formel gefunden, in der man mit den Differenzen arbeitet. Bin gerade aber noch nicht zu Haus, sondern erst spät. Daher kann ich die gerade nicht aufschreiben. ─ labis 17.07.2021 um 16:29
Ich hab eine Formel gefunden, in der man mit den Differenzen arbeitet. Bin gerade aber noch nicht zu Haus, sondern erst spät. Daher kann ich die gerade nicht aufschreiben. ─ labis 17.07.2021 um 16:29
du hast etwas weiter oben geeschrieben, dass \( \mathbb{P}(X = 1 \cap Y = 1)=\mathbb{P}(X=1) \) warum ist das so? Also warum, wenn doch X und Y nicht die selbe Verteilung haben? Das ist ja noch in der Klammer und hat deswegen noch nichts mit der W'keit zu tun, aber ich verstehe nicht, wie man diese Schnitte löst, offensichtlich.
─
labis
18.07.2021 um 00:17
ich krieg die Kovarianz nicht berechnet, also auch da weiß ich wohl nicht, welche Werte ich nehmen soll. Die Formel mit der ich gerechnet habe ist:
\[ Cov[X,Y]= \frac{\Sigma_{i=1}^{n}(x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)}{n-1} \] ─ labis 18.07.2021 um 00:37
\[ Cov[X,Y]= \frac{\Sigma_{i=1}^{n}(x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)}{n-1} \] ─ labis 18.07.2021 um 00:37
1.) ich hab die andere Formel nicht genutzt, weil (nicht lachen) nicht wusste, was ich für X eintragen sollte :D
2.) des is so simpel? Also für 0, 1, 2 kann man das also machen, inteeressant. mich hat dabei verwirrt, dass es darum geht, der Schnitt ist ja die Menge die in beiden ZV vorkommen, aber in X haben ja nicht alle Wertee die gleiche W'keit wie bei Y. das hat mich verwirrt. Weil um das noch weiter aufzubröseln: Warum ist der Schnitt von X=1 und Y=1 -> X=1 und nicht Y=1 ? die w'keit von Y=1 ist ja eine andere als bei X. Solche lästigeen Fragen schwirren mir im Kopf rum und deswegen werde ich nie fertig ... :/
EDIT: ich habs kapiert, glaub ich. Es kann nicht Y=1 sein, denn wenn Y=1 könnte es auch X=-1 sein, richtig? ─ labis 18.07.2021 um 17:21
2.) des is so simpel? Also für 0, 1, 2 kann man das also machen, inteeressant. mich hat dabei verwirrt, dass es darum geht, der Schnitt ist ja die Menge die in beiden ZV vorkommen, aber in X haben ja nicht alle Wertee die gleiche W'keit wie bei Y. das hat mich verwirrt. Weil um das noch weiter aufzubröseln: Warum ist der Schnitt von X=1 und Y=1 -> X=1 und nicht Y=1 ? die w'keit von Y=1 ist ja eine andere als bei X. Solche lästigeen Fragen schwirren mir im Kopf rum und deswegen werde ich nie fertig ... :/
EDIT: ich habs kapiert, glaub ich. Es kann nicht Y=1 sein, denn wenn Y=1 könnte es auch X=-1 sein, richtig? ─ labis 18.07.2021 um 17:21
die Standardabweichung von (X,Y) ist doch der Korrelationskoeffizient, richtig?
─
labis
18.07.2021 um 20:13
ok. danke. ich konnte dank dir nicht nur die aufgabe lösen, sondern noch viele weitere wichtige sachen lernen! :)
─
labis
18.07.2021 um 20:46
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Cauchy wurde bereits informiert.
Wenn die Menge \( \mid X \mid \) nicht gleichverteilt ist, was ist sie dann? und wie macht man das? Ist \( \mid X \mid \) eine Teilmenge von X und man muss deswegen mit allen Elementen aus X arbeiten?
die W'keit, dass \( f_Y(y) = \mathbb{P}(Y= y) = \begin{array}{ccc} \frac{1}{3}, y= 0 \\ \frac{1}{3}, y= 1 \\ \frac{1}{3}, y= 2 \\ 0, sonst \end{array} \ \ \ \) habe ich gedacht. also wenn das nicht so ist, dann könnte es so sein: \( f_Y(y) = \mathbb{P}(Y= y) = \begin{array}{ccc} \frac{1}{5}, y= 0 \\ \frac{1}{5}, y= 1 \\ \frac{1}{5}, y= 2 \\ 0, sonst \end{array} \ \ \ \) was sich mir nur so erklärt, dass man vllt eine -2 wählt und aber in \( \mid X \mid \) ist sie einfach 0.
zu cov. oh, du hast recht. hahaha :D ─ labis 16.07.2021 um 02:20