Dir ist klar, was es bedeutet, wenn eine Relation diese drei Eigenschaften besitzt?

Sei bspw. \(M := \{A,B,C,D,E\}\) die Menge von fünf Autos mit jeweils den folgenden Eigenschaften:

\(A: \text{ rot, automatik}\)
\(B: \text{ schwarz, automatik}\)
\(C: \text{ blau, manuell}\)
\(D: \text{ schwarz, manuell}\)
\(E: \text{ schwarz, automatik}\)

Betrachtet man nun die Relation \(R :=\{(x,y) : x\text{ hat gleiche Farbe wie } y\} \subset M^2\), so können wir stets sagen:
"B hat die gleiche Farbe wie B" (reflexiv);
"Wenn B die gleiche Farbe wie D hat, dann hat D auch die gleiche Farbe wie B" (symmetrisch);
"B hat die gleiche Farbe wie D und D hat die gleiche Farbe wie E, also hat B die gleiche Farbe wie E" (transitiv).

Die ÄR ist also das Verhältnis der Gleichwertigkeit, in dem Objekte einer Menge (hier die Fahrräder) bzgl. einer bestimmten Eigenschaft (Farbe) gleichwertig sind.

Außerdem sind die Äquivalenzklassen \([B]_R,\: [D]_R,\: [E]_R\) bzw. \( [A]_R =  [C]_R\) bezüglich der Relation \(R\) (Farbe) gleich: \( \{B,D,E\} = [B]_R =  [D]_R =  [E]_R,\quad  \{A,C\} = [A]_R =  [C]_R\)

Das gleiche Spiel könnte man mit der Getriebeart machen.

Die Äquivalenzklassen sind disjunkte (pwd) Teilmengen der Menge, auf der die Relation betrachtet wird (hier \(M\)).