Differentialgleichungen

Erste Frage Aufrufe: 64     Aktiv: 13.02.2021 um 10:34

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Ich soll die Lösung folgender Differentialgleichung bestimmen:

\( y'' - 4y' + 4y = 8e^{-2t} \)

mit \( y(0) = 0,5 \) und \( y'(0) = 0 \)

Mir fehlt leider die Idee oder der Ansatz mit dem ich diese Gleichung lösen könnte. Vielleicht kann mir jemand dabei helfen!

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Student, Punkte: 17

 

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Also ich weiß, dass es eine inhomogene Differentialgleichung ist und man zunächt die homogene und partikuläre Lösung bestimmt. Aber da komme ich nicht so recht weiter.   ─   mathe4fun 12.02.2021 um 16:17

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Moin mathe4fun.
Um die homogene Lösung zu bestimmen, musst du die homogene DGL, also \(y''-4y'+4y=0\) lösen. Hier solltest du den Ansatz \(y=C e^{\lambda t}\) benutzen. Ableiten, einsetzen und so \(\lambda\) bestimmen.
Für die partikuläre Lösung musst du deinen Ansatz nach der Störfunktion ausrichten. In diesem Fall bietet sich \(y=Ae^{-2t}\) an, solange dies kein Teil der homogenen Lösung ist (deshalb solltest du diese auch zuerst bestimmen).
Hilft dir das weiter?

Grüße
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Student, Punkte: 7.85K
 

Danke für deine Hilfe. :)   ─   mathe4fun 13.02.2021 um 10:34

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Am besten, es selbst versuchen. Hier meine Videos auf youTube, wo Du alles Nötige findest. Einige Tipps. Man kann das Anfangswertproblem so lösen, wie Du vorgeschlagen hast. Für die homogene DGL wäre der Ansatz \(y_h = e^{\lambda x} \), was für  Lambda die Doppellösung 2 liefert, so dass \(y_h=c_1 e^{2x} + c_2 x e^{2x} \) wäre. Für die partikuläre Lösung setzt man \(y_p= B e^{-2x} \) und berechnet das B. Genaueres findet man in meinen Videos.
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