Moin mathe4fun.
Um die homogene Lösung zu bestimmen, musst du die homogene DGL, also \(y''-4y'+4y=0\) lösen. Hier solltest du den Ansatz \(y=C e^{\lambda t}\) benutzen. Ableiten, einsetzen und so \(\lambda\) bestimmen.
Für die partikuläre Lösung musst du deinen Ansatz nach der Störfunktion ausrichten. In diesem Fall bietet sich \(y=Ae^{-2t}\) an, solange dies kein Teil der homogenen Lösung ist (deshalb solltest du diese auch zuerst bestimmen).
Hilft dir das weiter?

Grüße

Am besten, es selbst versuchen. Hier meine Videos auf youTube, wo Du alles Nötige findest. Einige Tipps. Man kann das Anfangswertproblem so lösen, wie Du vorgeschlagen hast. Für die homogene DGL wäre der Ansatz \(y_h = e^{\lambda x} \), was für  Lambda die Doppellösung 2 liefert, so dass \(y_h=c_1 e^{2x} + c_2 x e^{2x} \) wäre. Für die partikuläre Lösung setzt man \(y_p= B e^{-2x} \) und berechnet das B. Genaueres findet man in meinen Videos.