Berechnen Sie die Polarkoordinatendarstellung von z

Aufrufe: 39     Aktiv: 28.06.2021 um 12:41

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Guten Tag, ich habe 2 Fragen und wollte fragen ob das stimmt was ich hier mache, oder ob das Falsch ist weil ich leider keine Lösung habe... Als erstes sollte ich die Polarkoordinatendarstellung von z angeben... meinen Ansatz sehen Sie oben...  ich habe quasi den Real und Imaginär-Teil genommen, und mit dem Satz des Pythagoras r ausgerechnet. Die Formel für Polarkoordinaten lautet: z=r*e^(i*phi).... und phi habe ich über den arctan gerechnet... und das Pi davon abgezogen damit das mit dem Winkel auch stimmt... also 1ste Frage: stimmt bei a.) mein Ergebnis? ( bei dem was ich doppelt unterstrichen habe, da soll ein + zwischen den beiden Brüchen, kein *)

Und die 2te Frage für b.), ich soll z^42 ausrechnen... soll ich dann einfach von real und img- Teil die beiden Sachen ^42 nehmen,oder wie?

Danke sehr!

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Student, Punkte: 32

 
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Wenn in deiner Antwort ein $+$ zwischen den beiden Brüchen stehen soll, kann das nicht stimmen. Wie du sagst, muss dein Ergebnis ja in der Form $re^{i\varphi}$ sein.
Was hast du denn gerechnet, um $r$ auszrechnen? Dein Ergebnis stimmt überhaupt nicht. Es ist ja $$r^2=\left(\frac{-\sqrt3\sqrt[7]2}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt[7]2}2\right)^2$$ Rechne das nochmal, da kommt ein relativ einfaches Ergebnis raus. Der Winkel stimmt, aber nur weil du Glück gehabt hast. Beim Berechnen des Arguments des Arcustangens hast du ein Minus vergessen, und du müsstest $\pi+\arctan(\ldots)$ rechnen, um in den richtigen Quadranten zu kommen. Diese beiden Fehler heben sich lustigerweise genau weg, sodass das Ergebnis stimmt. Das könntest du noch weiter vereinfachen zu $\frac{5\pi}6$.

Bei der (b) müsstest du, wenn du in der Koordinatenform $z^{42}$ ausrechnen wolltest, nicht nur Real- und Imaginärteil zu Potenzen nehmen, sondern alle gemischten Terme berechnen (denk an binomische Formeln). Das ist extrem mühsam, deshalb hast du ja die Polarkoordinaten berechnet. Damit geht es ganz einfach: $$\left(re^{i\varphi}\right)^n=r^ne^{in\varphi}$$ Du kannst also sofort das Ergebnis hinschreiben und musst es nur noch ein bisschen vereinfachen.
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Ok, vielen Dank schonmal für Ihre schnelle Antwort... Ich habe jetzt nochmal r ausgerechnet und komme dabei jetzt auf 1.104.. Also lautet die Polarkoordinatenform

z = 1.104*e^(i*(5pi/6)) bzw z = 1.104*e^(i*(1/wurzel3))

.... das sollte stimmen hoffe ich :O

Zu Punkt b.)... ich habe laut Ihren angaben jetzt den Real und Img Teil ausgerechnet mit der Formel r^n * e^(i*n*phi), also den

Re(z) mit r*cos(phi*n) --> 1.104^42 * cos( (1/wuzel(3))*42) = 58.15
Im(z) mit r*sin(phi*n) --> 1.104^42 * sin( (1/wuzel(3))*42) = 26.195


Ich hoffe das stimmt auch :O... und danke!
  ─   xaverhauer 28.06.2021 um 12:28

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Um genauer zu sein, ist $r=\sqrt[7]2$, dein Taschenrechner rechnet wahrscheinlich nicht genau genug, um das zu erkennen, also musst du das händisch vereinfachen. Und im Exponent sollte nicht $\frac1{\sqrt3}$, sondern $\pi+\arctan\frac{-1}{\sqrt3}$ stehen. Das kannst du eben zu $\frac56\pi$ vereinfachen. Dann ergibt sich $$z^{42}=\left(\sqrt[7]2e^{\frac56\pi i}\right)^{42}=\sqrt[7]2^{42}e^{42\cdot\frac56\pi i}=2^{\frac{42}7}e^{35\pi i}=2^6e^{\pi i}=-64.$$   ─   stal 28.06.2021 um 12:37

Ok.... dann mach ich das noch.... das wichtigste ist jetzt habe ich alles verstanden... Danke sehr!!   ─   xaverhauer 28.06.2021 um 12:41

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