Gibt es klassisch #konstruierter #Grenzprozesse?

Aufrufe: 415     Aktiv: 25.06.2024 um 23:14

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Bisher habe ich in der historischen Literatur keine Beispiele für  eine klassiche Konstruktion nur mit Kreis und Gerade  erzeugten  #Punktefolgen gefunden, die  als klassisch #konstruierter #Genzprozeß einen #Grenzpunkt  zustreben, der ein #Verhältnisse markiert, welches eine besondere Bedeutung hat?  Sind solche klassisch konstruierte Grenzprozesse überhaupt möglich#?
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"Nur mit Kreis und Gerade" heißt ja nix anderes als "Konstruktion mit Zirkel und Lineal".
Mit Zirkel und Lineal lassen sich genau diejenigen Zahlen konstruieren, die sich mit \(\sqrt{}, \cdot, /, +, -, 1\) erzeugen lassen. Das sind schon ziemlich viele. Diese Zahlenmenge liegt dicht in den reellen Zahlen, so dass das Konstruieren mit Zirkel und Lineal gegen jede beliebige reelle Zahl konvergieren kann.
  ─   m.simon.539 20.01.2024 um 00:00

Für die möglichen "schon ziemlich vielen" klassich konstruierbaren Grenzprozesse sind aber doch " schon ziemlich wenige" im Umlauf. Interessante Beispiele dazu wären solche für die Größe des Winkeldtrittels oder die gestreckte Kreisumfanglänge? Kennt jemand Quellen dazu?   ─   user1254f8 24.03.2024 um 18:38

Zur Winkeldreiteilung gibt es folgendes iteratives Verfahren: https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels#N%C3%A4herung_durch_iterative_Winkelhalbierung

Ähnliches sollte es die Würfelverdopplung oder die Quadratur geben. Denn die betreffenden Zahlen (\(\sqrt[3]{2}\) bzw. \(\pi\)) sollten sich ja in unendliche, konvergente Reihen entwickeln lassen, deren Glieder sämtlich konstruierbar sind.

Z.B. ist ja \(\pi = 16 \arctan(1/5) - 4\arctan (1/239) \), und für arctan gibt es eine Potenzreihe.

  ─   m.simon.539 24.03.2024 um 21:23

Ich suche für die klassischen Aufgaben der Antike nach klassich konstruierten Berechnungen, auch solche mit klassisch konstruierten Grenzprozessen. Das mit {https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_{d}es_{W}inkels#N%C3%A4herung_{d}urch_{i}terative_{W}inkelhalbierung} angesprochenen Berechnen ist ein solches klassich konstruiertes Berechnen. Es wurde erstmals vom österreichischen Mathematiker N. Fialkowski im Jahre 1860 in seinem Buch „Theilung des Winkels und des Kreises   Wien Druck und Verlag von Carl Gerold´s Sohn 1860“ als Grenzprozeß-Verfahren für ein exaktes, unbeschränkt genaues Winkeldritteln mitgeteilt.

Bei Wikipedia wird es bei „Dreiteilung des Winkels“ (29.3.2024)allerdings nur als „Näherungsverfahren“eingeordnet. Hingegen die Neusis-Verfahren als exakte Verfahren, obwohl sie gleichfalls mit einem endlosen Prozeß arbeiten, einem endlos genauen Einpassen durch Zurechtrücken. Diese unterschiedlichen Einordnungen sind widersprüchlich, denn das Halbierungs-Verfahren ist kein weniger exaktes Verfahren als die Neusis-Verfahren.

 

Beim vorgeschlagenen Überführen der arithmetisch/algebraischen unendlicher Reihe

„ π = 16 arctan ( 1 / 5 ) − 4 arctan ( 1 / 239 ) , und für arctan gibt es eine Potenzreihe.„

in einen klassich mit Zirkel und Lineal konstruierten Grenzprozess, deutet die Formelierung „sollte“ und „sollte .... konstruierbar sein“ auf gewisse Zweifel hin, die es für eine reale Umsetzung gibt. Und tatsächlich, in den historischen Überlieferungen fehlen mit Kreis- und Gerade-Objekten konstruierte Grenzprozeß-Berechnungen? Die Lücke wird insbesondere bei den drei klassischen Aufgaben sichtbar, beim Winkeldritteln, beim flächengleichen Umformen der Kreisfläche in eine Quadratfläche und beim Würfelverdoppeln.

Ein Grund für die Lücke sind die allgemein schwachen Konvergenzen der bekannten arithmetisch/algebraisch unendlichen Reihen. Bis zum Erreichen einer brauchbaren Ergebnis-Genauigkeit sind sehr viel Konstruktionsschritte auszuführen, was aus Zeit- und Aufwand-Gründen nicht real möglich ist.

Wegen der oben aufgezeigten Gründe suche ich für die klassischen drei Aufgaben nach klassisch konstruierten Grenzprozeß-Berechnungen bei starker Konvergenz, die nachvollziehbare Zusammenhänge von geometrischer Natur zur Grundlage haben. Sie sollen bereits mit wenigen Schritten eine sehr hohe Ergebnis-Genauigkeit liefern.
  ─   user1254f8 02.04.2024 um 13:17

Die o.g. Potenzreihe für \(\pi\) konvergiert recht schnell - etwa 15 Iterationsschritte für 10 Dezimalstellen.
Ähnlich schnell konvergent ist das Verfahren von Archimedes:
Konstruiere ein Quadrat, dass gerade so in den Einheitskreis passt.
Verdoppele die Ecken des Quadrates durch Halbierung des Innenwinkels, und das immer wieder.
Der Umfang dieser \(2^n\)-Ecke konvergiert gegen \(2\pi\).

Die Würfelverdopplung funktioniert mit dem sehr schnell konvergenten Newtonverfahren:
\(\displaystyle x_1=1\)
\(\displaystyle x_{n+1}=\frac{2x_n^3+2}{3x_n^2}\) für n=1,2,3,...
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} x_n= \sqrt[3]{2}\)

Ebenso lässt sich ein Winkel \(\alpha\) mit dem sehr schnell konvergenten Newtonverfahren approximieren:
Konstruiere \(\cos(\alpha)\).
Es gilt \((\cos(\alpha/3))^3-3\cos(\alpha/3) = \cos(\alpha)\).
Dies ist eine Gleichung in \(\cos(\alpha/3)\), die mit dem Newtonverfahren approximiert werden kann:
\(y_1=1\)
\(\displaystyle y_{n+1}=y_n-\frac{4x_n^3-3y_n-\cos(\alpha)}{12y_n^2-3}\)
Dann ist \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} y_n= \cos(\alpha/3)\).
Aus \(\cos(\alpha/3)\) lässt sich dann \(\alpha/3\) konstruieren.


  ─   m.simon.539 03.04.2024 um 01:53

Befriedigen würde mich die gegebene Antwort dann, wenn da anstatt „Aus cos (\alpha/3) läßt sich dann \alpha/3 konstruieren“, stehen würde, aus cos(\alpha/3) wird dann \alpha/3 konstruiert, wie es nachfolgende klassische Konstruktion zeigt, bei der bereits mit wenigen konstruierten Kreis- und Gerade-Objekten zu einer praktikablen Ergebnis-Genauigkeit gelangt wird. As Kriterium für die Effizienz des Verfahrens soll die benötigte Anzahl der konstruierten Kreis- und Gerade-Objekte für eine bestimmte Ergebnis-Genauigkeit, beispielsweise 15 wahre dezimale Nachkommastellen, betrachtet werden.   ─   user1254f8 03.06.2024 um 12:32

?   ─   m.simon.539 12.06.2024 um 01:22

Bedeutet das " ? ", worauf will user 1254f8 eigentlich. hinaus?

Auf nicht einfach behaupten, sondern vorzeigen, wie die behauptete konkrete Konstruktion für "Aus cos α/3 lässt sich dann α/3 konstruieren" aussieht und dabei bereits mit wenigen Schritten eine praktikable Genauigkeit zum exakten Grenzpunkt α/3 erreicht.

  ─   user1254f8 17.06.2024 um 13:00

Ok.
Man zeichne den Einheitskreis E um den Koordinatenursprung O.
Dann \(\cos(\alpha/3)\) in den Zirkel nehmen, und um den Koordinatenursprung einen weiteren Kreis K zeichnen.
Das ergibt einen Schnittpunkt S von positiver x-Achse und K.
In S eine Gerade g konstruieren, die rechtwinklig zur x-Achse verläuft.
Im ersten Quadraten schneiden sich E und g im Punkte T.
Dann ist \(\alpha/3 = \angle \mbox{TOS}\).
  ─   m.simon.539 19.06.2024 um 23:37

Entschuldigung, da lief etwas schief bei meinem letzten Beitrag. Zu schnell war etwas falsches rein kopiert.
Gemeint war eigentlich:
Gesucht wird, wie, vom α-Punkt = sin α-Punkt auf dem Keisbogen mit einer konstruierte Grenzprozeß-Punktefolge dem α/3-Punkt auf dem Kreisbogen immer mehr zugestrebt wird und dabei bereits mit kurzer Sequenz zusammenhängend konstruierten Kreis- und Gerade-Objekte mit dem letzten Zwischenergebnis-Folgepunkt eine praktikable Genauigkeit zum exakten α/3-Grenzpunkt erreicht wird.
  ─   user1254f8 25.06.2024 um 23:09
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